专题01 代数式、方程、不等式的计算（解析版）-2024年中考《数学》热点题型归纳与变式演练（全国卷）

第第页专题01代数式、方程、不等式计算目录热点题型归纳 1题型01实数计算 1题型02代数式的运算 2题型03二元一次方程、分式方程的计算 7题型04一元二次方程的计算 11题型05解一元一次不等式（组） 13中考练场 20题型01实数计算【解题策略】（1）绝对值化简：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数：（2）根式化简：；（3）指数化简：不会改变原数的正负性；（4）特殊的三角函数值要记牢。【典例分析】例．（2023·四川德阳）计算：【答案】4【分析】先计算锐角的余弦，负整数指数幂，化简绝对值，零次幂，算术平方根，再合并即可．【详解】解：．【点睛】本题考查的是实数的混合运算，负整数指数幂的含义，零次幂的含义，求解算术平方根，特殊角的三角函数值，熟记运算法则与运算顺序是解本题的关键．【变式演练】1．（2023·北京石景山·校考一模）计算：．【答案】5【分析】直接利用负整数指数幂运算法则、二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式．【点睛】此题主要考查了实数运算，负整数指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．2．（2023·广东肇庆·统考三模）计算：．【答案】【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简负整数指数幂、零指数幂、立方根以及绝对值，再运算加减法，即可作答．【详解】解：原式3．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）计算：．【答案】5【分析】此题考查了实数的混合运算，涉及到特殊角的三角形函数值、计算绝对值、化简二次根式、以及零指数幂．先依次计算特殊角的三角形函数值、去绝对值、化简二次根式、计算零指数幂，再进行加减运算即可．【详解】解：4．（2023·广东阳江·统考二模）计算：．【答案】3【分析】本题考查特殊角的三角函数值，实数的混合运算．先化简各式，再进行加减运算即可．掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键．【详解】解：原式．题型02代数式的运算【解题策略】幂的运算：①同底数幂的乘法：am·an=am+n；②幂的乘方：(am)n=amn；③积的乘方：(ab)n=anbn；④同底数幂的除法：am÷an=am-n。整式乘法公式：①平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²；②完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b²。运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的，先算括号内的，去括号时，先去小括号，再去中大括号【典例分析】例1．（乘法公式计算）（2023·湖南）先化简，再求值：，其中．【答案】，24【分析】先展开，合并同类项，后代入计算即可．【详解】当时，原式．【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握两个公式是解题的关键．例2．（整式计算）（2023·山东淄博）先化简，再求值：，其中，．【答案】；【分析】直接利用整式的混合运算法则化简进而合并得出答案．【详解】原式,当时,原式．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算二次根式的运算，正确合并同类项是解题关键．例3．（分式计算）（2023·青海）先化简，再求值：，其中．【答案】，．【分析】原式利用除法法则变形，利用分式乘法得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．【详解】解：，当时，原式．【点睛】此题考查分式的化简求值，解题关键在于分式的加减运算是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．【变式演练】1．（2023·北京石景山·校考一模）已知实数是的根，不解方程，求的值．【答案】【分析】本题主要考查一元二次方程的解，多项式乘以多项式，完全平方公式和合并同类项，根据方程的解的概念求得，根据多项式乘以多项式，完全平方公式和合并同类项法则化简代数式，然后整体代入即可，熟练掌握运算法则和正确理解整体代入思想是解题的关键．【详解】解：∵实数是的根，∴，即，由，，，∵，∴原式，．2．（2023·广东肇庆·统考一模）已知，求的值．【答案】【分析】本题考查代数式求值，由变形得到，再将代入变形后的代数式进行计算即可．解题的关键先把代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体思想进行计算．【详解】解：∵，∴．3．（2023·重庆开州·统考一模）(1)；(2)．【答案】（1）；（2）【分析】本题考查了整式的乘法与分式的混合运算；（1）根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式进行计算即可求解；（2）根据分式的混合运算进行计算即可求解．【详解】解：（1）；（2）．4．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）先化简，再求值：，其中，．【答案】，【分析】本题考查的是整式的加减运算，乘法公式的应用，二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先利用乘法公式计算乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把，代入计算即可．【详解】解：；当，时，原式．题型03二元一次方程、分式方程的计算【解题策略】二元一次方程组：加减消元法与整体代入法；分式方程：通分化成整式方程，并且最后结果一定要验证根。【典例分析】例1．（2023·湖南常德）解方程组：【答案】【分析】方程组利用加减消元法求解即可．【详解】解：将①得：③得：将代入①得：所以是原方程组的解．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．例2．（2023·四川凉山）解方程：．【答案】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：方程两边同乘，得，整理得，，∴，解得：，，检验：当时，，是增根，当时，，原方程的解为．【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．【变式演练】1．（2023·江苏南通·统考二模）（1）解方程组：（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）方程组的解为；（2），【分析】本题主要考查分式的化简求值，解二元一次议程组；（1）利用加减消元法进行求解即可；（2）利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算可．【详解】（1）解：①，得③，，得：，，把代入（1），得：，所以方程组的解为：．（2）解：原式当时，原式．2．（2023·浙江·模拟预测）已知，求的值．【答案】【分析】设，解方程组，进而因式分解代数式，将代入，即可求解．【详解】设，则方程组为解得：∴【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，因式分解的应用，换元法解方程组是解题的关键．3．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）解方程组：．【答案】【分析】将原方程组化为：，再用加减消元法消去一个未知数，即，求出，再把代入①求出即可．【详解】解：原方程组化为：，得：，，把代入①得：，，原方程组的解是．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，掌握消元法将二元一次方程组转化成一元一次方程是解题关键．4．（2023·广东河源·统考二模）解分式方程．【答案】【分析】本题考查了解分式方程，先把方程变为，去分母，把分式方程化为整式方程即可求解，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．【详解】解：方程可变为，，方程两边都乘以最简公分母得，，去括号，得，解得，检验：当时，，∴原方程的解是．题型04一元二次方程的计算【解题策略】熟练运用开配方法、因式分解法、求根公式。利用韦达定理熟练进行计算，求参数，必须验证根的存在问题【典例分析】例1．（因式分解法）（2023·广东广州）解方程：．【答案】，【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：，，或，，．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．例2．（开平方法）（2022·黑龙江齐齐哈尔）解方程：【答案】，【分析】直接开方可得或，然后计算求解即可．【详解】解：∵∴或解得，．【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．例3．（韦达定理）（2023·湖北襄阳）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)若方程的两个根为，，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围；（2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值．【详解】（1）解：，∵有两个不相等的实数，∴，解得：；（2）∵方程的两个根为，，∴，∴，解得：，（舍去）．即：．【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．【变式演练】1．（2023·辽宁鞍山·校考一模）解下列方程：(1)．(2)；【答案】(1)，(2)；【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；【详解】（1）∵，，，，∴方程有两个不相等的实数根，，即，．（2）整理，得，因式分解，得，∴或，∴，．【点睛】此题考查了解一元二次方程——公式法，以及因式分解法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．2．（2023·河南周口·统考一模）计算：解方程：．【答案】，【分析】方程去括号，因式分解求解即可．【详解】解：去括号，得：，因式分解，得：，解得：，．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，按照解方程的步骤求解即可．3．（2023·广东江门·广东省江门市实验中学校考一模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)若，求的值．【答案】(1)；(2)的值不存在【分析】（1）根据根的判别式即可求解；（2）根据根与系数的关系得，，即可求解．【详解】（1）解：该方程有两个不相等的实数根，，，，，，解得：，的取值范围为：；（2），，，，，解得，的值不存在．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及解不等式的综合运用．掌握一元二次方程中根的判别式的含义，并会解一元一次不等式是解题的关键．4．（2023·甘肃平凉·校考三模）已知关于x的一元二次方程(1)若1是该方程的一个根，求m的值．(2)若一元二次方程有实数根，求m的取值范围．【答案】(1)3(2)且【分析】（1）将代入得，，计算求解即可；（2）由题意知，，，计算求解即可．【详解】（1）解：将代入得，，解得，∴m的值为3；（2）解：由题意知，，，解得，∴m的取值范围为且．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式．解题的关键在于对知识的熟练掌握．题型05解一元一次不等式（组）【解题策略】（1）不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a，则a=b；④若a2≤0，则a=0；⑤若ab＞0或，则a、b同号；⑥若ab＜0或，则a、b异号.（2）任意两个实数a、b的大小关系：①a-b＞Oa＞b；②a-b=Oa=b；③a-b＜Oa＜b．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c.（3）由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．不等式组（其中a＞b）图示解集口诀（同大取大）（同小取小）（大小取中间）无解（空集）（大大、小小找不到）【典例分析】例1．（不等式）（2023·江苏盐城）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.

【答案】，数轴见详解【分析】根据解一元一次不等式的步骤解答即可．【详解】。去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1：．在数轴上可表示为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，能求出不等式的解集是解此题的关键，难度适中．

例2．（不等式组）（2023·江苏徐州）解不等式组【答案】【分析】求出每个不等式的解集，取每个不等式解集的公共部分即可．【详解】解：解不等式①得，，解不等式②得，，∴不等式组的解集是．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，熟练掌握相关解法是解题的关键．【变式演练】1．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）解不等式组，并求出所有整数解的和．【答案】【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，进而求出整数解即可．【详解】解：，由①得：，由②得：，不等式组的解集为，不等式组的整数解为，，，，0，1，其和为：故答案为：2．（2023·浙江温州·校联考模拟预测）（）计算：；（）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．（温馨提示：请把解集在答题目相对应的数轴上表示出来．）【答案】（）；（），数轴表示见解析．【分析】（）根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值先化简，再相加减即可得到结果；（）先去括号、移项、合并同类项、系数化，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可；本题考查了实数的运算，解一元一次不等式，掌握实数的运算法则和解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键．【详解】解：（）原式，；（）去括号得，，移项得，，合并同类项得，，系数化为得，，数轴表示如下：3．（2023·广东潮州·二模）解不等式组，并在数轴上表示该不等式组的解集．【答案】，数轴见解析【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．分别求解两个不等式，再写出解集，最后在数轴上表示出来即可．【详解】解：，由①可得：，由②可得：，∴该不等式组的解集为，在数轴上表示如图所示：4．（2023·陕西西安·校考一模）解不等式组：【答案】【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集．【详解】解：由①得，，由②得，，∴不等式组的解集为．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．1．（2023·北京·统考中考真题）计算：．【答案】【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键．2．（2023·山东日照·统考中考真题）（1）化简：；（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）；（2），【分析】（1）根据平方根，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数，实数的混合运算法则进行计算即可；（2）根据分式的性质进行化简，再将代入求解即可．【详解】（1）解：（2）解：将代入可得，原式．【点睛】本题考查了平方根，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数，实数的混合运算法则，分式的化简求值等，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．3．（2023·北京·统考中考真题）已知，求代数式的值．【答案】2【分析】先将分式进行化简，再将变形整体代入化简好的分式计算即可．【详解】解：原式，由可得，将代入原式可得，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，注意整体代入思想的应用．4．（2023·四川乐山·统考中考真题）解二元一次方程组：【答案】【分析】采用加减消元法即可求解．【详解】解：①，得②，将②+③，得，解得．将代入①，得，∴方程组的解为：．【点睛】本题主要考查了运用加减消元法解二元一次方程组的知识，掌握加减消元法是解答本题的关键．5．（2023·四川巴中·统考中考真题）（1）计算：．（2）求不等式组的解集．（3）先化简，再求值，其中x的值是方程的根．【答案】（1）；（2）；（3），【分析】（1）先化简绝对值，计算负整数指数幂，特殊角的三角函数，二次根式的化简与乘方运算，再合并即可；（2）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式的解集的公共部分即可；（3）先计算括号内的分式的加减运算，再计算除法运算得到化简的结果，再解一元二次方程结合分式有意义的条件确定的值，再代入计算即可．【详解】解：（1）原式；（2）由不等式①得：；由不等式②得：；∴原不等式组的解集为：；

（3）原式；

解方程得，；，原式．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，分式的化简求值，实数的混合运算，特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握以上基本运算的运算法则与解题步骤是解本题的关键．6．（2022·江苏徐州·统考中考真题）（1）解方程：；（2）解不等式组：【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】（1）解：，，∴，；（2）解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．7．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程有实数根．(1)求实数k的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．【答案】(1)k；(2)k=3【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根．∴∆0，即32-4（k-2）0，解得k（2）∵方程的两个实数根分别为，∴，∵，∴，∴，解得k=3．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．8．（2023·西藏·统考中考真题）解分式方程：．【答案】【分析】方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，再求解即可．【详解】，经检验，是原方程的根，故原方程的解为：．【点睛】本题考查了求解分式方程的知识，掌握相应的求解方程，是解答本题的关键．注意：解分式方程时，要将所