2.6.2 二次方程根的分布问题-2024年初升高数学无忧衔接

第第页第2.6章函数的应用2.6.2二次方程根的分布问题高中要求1掌握二次函数、一元二次方程的关系；2掌握二次函数零点的分布问题.1概念二次方程ax2+bx+c=0的根(即二次函数2常见题型①两根与k的大小比较(以a>0为例)分布情况两根都小于k，即x两根都大于k，即x一根小于k，一根大于k，即x大致图像得出的结论∆>0∆>0f②两根分别在区间(m,n)外aa<0大致图像得出的结论ff③根在区间上的分布(以a>0为例)分布情况两根都在(m,n)内两根有且仅有一根在(m,n)内一根(m,n)内，另一根在(p,q)内大致图像得出的结论∆>0ffm>0【题型1】两根与k的大小比较【典题1】已知二次方程2m+1x2−2mx+解析方法一：当2m+1>0时，若要满足题意，必须f0当2m+1<0时，若要满足题意，必须f0即2m+1f0<0⇔方法二：(韦达定理)设x1,x∆=4m2−4变式练习1.若方程x2−2xA．a>1或a<−12 答案A解析∵方程x2∴两根之积−lg⁡2∴2a2−a>1，求得a>1故选：A．2.已知关于x的方程x2+kx+k2+k−4=0有两个实数根，且一根大于2，一根小于答案(−3,0)解析令fx=x即：22+2k+k2+k所以实数k的取值范围为(−故答案为：(−3,0)．3.若关于x的二次方程mx2+(2m−1)x则实数m的取值范围是．答案(解析∵关于x的二次方程mx2+(2m则m>0△即m>0m<3−7即m的范围为(3+【题型2】根在区间上的分布【典题1】已知方程x2−2a+1x+a(a+1)=0的两根分别在区间(0,1),(1,3)解析方法1方程x2−若要满足题意，则f故答案是(0,1).方法2方程x∴方程两根为x1若要满足题意，则0<a<11<a+1<3，解得0<a<1故答案是(0,1).变式练习1.方程x2−2ax+1=0的两根分别在(0,1)与(1,3)A．1<a<53 B．a<1或a>答案A解析令f(x)=∵方程x2−2ax+1=0的两根分别在(0,1)与∴f(0)>0f(1)<0f(3)>0∴1<a<∴a的取值范围为(1,故选：A．2.若方程x2+(1−k)x－2(k+1)=0的一个根在区间A．(3,4) B．(2,3) C．(1,3) D．(1,2)答案D解析若方程x2则△=(1−k)2此时x=−2，不在区间令f(x)=x若方程x2+1−k则f(2)f(3)<0，即(4－4k)(10－5k)<0，解得：k∈故选：D．3.已知方程x2−a2x围为．答案(解析设f(x)=x方程x2−a2x−a+1=0可得f(0)>0，f(1)<0，即有－a+1>0，且2−a即为a<1a>1或a<−2故答案为：(−4.若方程7x2−(m+13)x−m−2=0的一个根在区间(0,1)答案(−4,解析设函数f(x)=7x∵方程7x2−(m+13)x−∴f(0)>0f(1)<0f(2)>0，∴f(0)=−m−2>0则−即实数m的取值范围是(−故答案为：(−4，−2)．【题型3】两根分别在区间(m【典题1】已知关于x的方程ax2+x+2=0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是．解析关于x的方程ax2若a>0，即图象开口向上，ax2+x+2=0的两个实根一个小于0只需f(0)<0，且f(1)<0，即2<0且a+3<0，则a∈若a<0，即图象开口向下，ax2+x+2=0的两个实根一个小于0只需f(0)>0，且f(1)>0，即2>0且a+3>0，则－3<a<0．综上可得a的范围是(−故答案为：(−变式练习1.若关于x的一元二次方程x2+ax−2=0有两个不相等的实根x则实数a的取值范围是()A．a<−1 C．−1<a<1答案C解析由题意设f(x)=x∵方程x2+ax−2=0有两个不相等的实根x1∴f(−1)<0f(1)<0，则1−a−2<01+a−2<0故选：C．1.已知关于x的方程x2−ax+3=0有一根大于1，另一根小于1A．(4,+∞) B．(−∞,4) C．(答案A解析设f(x)=x若方程x2−ax+3=0有一根大于1，另一根小于1，则只需要即f(1)=1−a+3<0，得即实数a的取值范围是(4,+∞)，故选：A．2.关于x的方程x2+(m−3)x+7−A．(−∞,1C．(−∞,−答案B解析∵关于x的方程x2+(m－3)x+7−∴△=(m−3)2故选：B．3.方程x2−2ax+1=0的两根分别在(0,1)与(1,2)A．1<a<54 B．a<−1答案A解析若关于x的方程x2−2ax+1=0的两根分别在(0,1)与则函数f(x)=x2−2ax+1(0,1)则f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0即1>0，2−2a<0解得1<a<故选：A．4.已知方程ax2+2x+1=0A．(0,1] B．(C．(−∞,1]答案C解析(1)当a=0时，方程变为2x+1=0，有一负根x=−1(2)当a<0时，△=4−4a>0此时有且仅有一个负根，满足题意，(3)当a>0时，由方程的根与系数关系可得−∴方程若有根，则两根都为负根，而方程有根的条件△=4－4a≥0∴0<a≤1综上可得，a≤1，故选：C．5.已知方程x2+(1+a)x+4+a=0的两根为x1,x是．答案(解析由程x2知对应的函数f(x)=x又∵方程x2+(1+a)x+4+a=0的两根满足则f(0)>0f(1)<0,即4+a>01+1+a+4+a<0,即∴−故答案为(6.求实数m的范围，使关于x的方程x2(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根α,β，且满足0<α<1<β<4；(3)至少有一个正根。解析设y=f(x)=x2(1)依题意有f(2)<0，即4+4(m−1)+2m+6<0，得m<−1．(2)依题意有f0=2m+6>0f(1)=4m+5<0(3)方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得Δ≥0f②有一个正根，一个负根，此时可得f(0)<0，得m<−3．③有一个正根，另一根为0，此时可得6+2m=0综上所