专题12 有理数的除法-2024年小升初数学无忧衔接 （解析版）

第第页专题12有理数的除法1.会把有理数的除法运算改为乘法运算；2.熟练掌握有理数混合运算顺序及法则；3.能利用有理数的除法解决实际问题。【思考1】江苏南京2023年春节一周的最低气温的平均值是多少？【思考2】能否根据除法的乘法逆运算，以及小学学习过的除法运算的经验，计算江苏南京2023年春节一周的最低气温的平均值吗？1.有理数的除法1）有理数除法法则：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数．，()法则的另一说法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．除以任何一个不等于的数，都得．2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．分数可以理解为分子除以分母．考点1、有理数的除法运算【解题技巧】有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．例1．（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据有理数的除法法则进行判断便可．【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意；B、，故此选项正确，符合题意；C、，故此选项错误，不符合题意；D、，故此选项错误，不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了有理数除法，熟记有理数除法法则是解题的关键．例2．（2022·海南海口·七年级校考期中）_____【答案】【分析】由已知一个因数与积求另一个因数用除法，从而可得答案．【详解】解：，因此，故答案为：．【点睛】本题考查有理数的乘除运算，掌握有理数的乘除运算的意义及运算法则是解题的关键．变式1．（2023·浙江台州·统考一模）计算的结果是（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根据有理数的除法法则求解即可.【详解】解：；故选：A.【点睛】本题考查了有理数的除法，属于应知应会题型，熟知有理数的除法法则是解题的关键.变式2．（2022秋·湖北武汉·七年级校考阶段练习）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据有理数的除法法则对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；B、，故本选项正确，符合题意；C、，故本选项错误，不符合题意；D、，故本选项错误，不符合题意，．故选：B．【点睛】此题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是解题的关键，除以一个数（0除外）等于乘以这个数的倒数．考点2、有理数除法法则的辨析与符号【解题技巧】有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．例1．（2022·浙江宁波·七年级期末）下列说法正确的是（

）A．非零两数的和一定大于任何一个加数 B．非零两数的差一定小于被减数C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数 D．小于1的两数之商一定小于被除数【答案】C【分析】按照有理数的计算法则和特例进行辨别选择．【详解】解：∵两个负数的和小于任何一个加数，∴选项A不符合题意；∵当减数是小于或等于0的数时，差是大于或等于被减数的，∴选项B不符合题意；∵大于1的两数之积一定大于任何一个因数，∴选项C符合题意；∵当除数是真分数，被除数是正数时，商大于被除数，∴选项D不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了有理数运算结果大小变化的辨别能力，关键是能准确理解法则，并能对各种运算情况考虑全面．例2．（2023·山西吕梁·模拟预测）若，且，异号，则的符号为（）A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于【答案】A【分析】根据同号得正，异号得负判断即可．【详解】解：∵，异号，∴，又∵，∴．故选：A．【点睛】本题考查了有理数的乘法，除法，熟记同号得正，异号得负是解题的关键．变式1．（2022秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）两个数的商为正数，那么这两个数是（

）A．都是正数 B．都是负数 C．同号 D．至少有一个为正数【答案】C【分析】根据有理数的除法运算法则：两数相除，同号得正，并把绝对值相除来判断即可．【详解】两个有理数的商是正数，那么这两个数一定同号．故选：C．【点睛】本题考查了有理数的除法运算法则：两数相除，同号得正，并把绝对值相除．变式2．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）如果，则的值与0的大小关系是（）A． B． C． D．不能确定【答案】B【分析】根据有理数的除法法则：两数相除，异号得负，即可得到答案．【详解】解：，，故选：B．【点睛】主要考查了有理数的除法法则，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键．变式3．（2022·广西·桂林市七年级阶段练习）已知a，b为有理数，则下列说法正确的个数为（

）①若，，则，．②若，，则，且．③若，，则，．④若，，则，且．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据有理数的加法法则以及有理数的除法法则分别分析得出即可．【详解】解：①若，，则，，故①结论正确；②若，，则a＞0，b＜0且|a|＞|b|或a＜0，b＞0且|a|＜|b|，故②结论错误；③若，，则a＜0，b＜0，故③结论正确；④若，，则a＞0，b＜0且|b|＞|a|或a＜0，b＞0且|b|＜|a|，故结论错误．故正确的有2个．故选：B．【点睛】此题主要考查了有理数的除法法则以及有理数加法法则的应用，熟练掌握法则是解题关键．考点3、有理数除法的运算步骤问题【解题技巧】有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．例1．（2022秋·吉林松原·七年级统考期中）阅读下面解题过程并解答问题：计算：解：原式（第一步）

（第二步）

（第三步）(1)上面解题过程有两处错误：第一处是第步，错误原因是；第二处是第步，错误原因是；(2)请写出正确的结果．【答案】(1)二；分乘除是同级运算，除法在前应先算除法；三；同号相除结果符号应为正(2)【分析】（1）根据有理数的乘除混合运算法则求解即可；（2）根据有理数的乘除混合运算法则求解即可．【详解】（1）解：第一处是第二步，错误原因是乘除是同级运算，除法在前应先算除法；第二处是第三步，错误原因是同号相除结果符号应为正；（2）．【点睛】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的乘除混合运算法则．例2．（2022·吉林·七年级阶段练习）阅读后回答问题：计算．解：原式=

①

②

③（1）从第（填序号）步开始出现错误；（2）请写出正确的解答过程．【答案】（1）①；（2）见解析．【分析】同级运算应该按照从左到右的顺序进行．【详解】解：（1）从第①步开始出现错误，同级运算没有按照从左到右的顺序进行；（2）【点睛】此题主要考查有理数的乘除法混合运算，乘除法同级运算从左到右进行是解题关键．变式1．（2023秋·河北廊坊·七年级统考期末）老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一个同学的式子进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如下，自己负责的那一步错误的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【分析】根据乘除的混合运算，按照从左到右的顺序进行计算，先将除法转化为乘法计算，即可求解．【详解】解：，∴甲负责的那一步错误了，故选：A．【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握运算顺序是解题的关键．变式2．（2022秋·广西南宁·七年级统考阶段练习）阅读下列解题过程：计算解：原式

第①步

第②步

第③步(1)上面的解题过程在第___________步出现错误；错误原因是___________．(2)请写出正确的解题过程．【答案】(1)②，运算顺序错误(2)见解析【分析】（1）根据题目中的解答过程，可以发现哪几步出错了；（2）先算括号内的式子，然后计算除法和乘法即可．【详解】（1）解：解题过程在第②步出现错误；错误原因是运算顺序错误．故答案为：②，运算顺序错误；（2）解：．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．考点4、有理数乘除法的混合运算【解题技巧】有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．分数可以理解为分子除以分母．例1．（2022秋·辽宁沈阳·七年级统考期中）计算的结果是_____________．【答案】9【分析】根据有理数的乘除运算顺序和运算法则计算即可．【详解】解：，故答案为：9．【点睛】本题主要考查了有理数的乘除法，解题的关键是掌握有理数的乘除法混合运算顺序和运算法则．例2．（2023秋·吉林延边·七年级统考期末）计算：；【答案】【分析】原式先将除法转换为乘法后，再进行乘法运算即可；【详解】解：==【点睛】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键例3．（2022秋·全国·七年级专题练习）计算：(1)÷（）÷（）；(2)（）÷（）÷（）；(3)（）×（）÷；(4)（）÷（）×（）．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；（2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；（3）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；（4）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案．【详解】（1）原式＝；（2）原式＝；（3）原式＝；（4）原式＝．【点睛】本题考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．变式1．（2022秋·云南楚雄·七年级校考阶段练习）计算：_____________．【答案】【分析】根据有理数的乘除运算法则，从左往右依次计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查有理数的乘除运算．解题的关键在于明确运算顺序．易错点是先计算乘法然后计算除法．变式2．（2023秋·贵州铜仁·七年级期末）计算的结果是______________．【答案】24【分析】根据有理数的除法法则、乘法法则计算即可．【详解】解：=6×2×2=24，故答案为：24．【点睛】本题考查的是有理数的乘法、除法，掌握有理数的除法法则、乘法法则是解题的关键．变式3．（2022秋·浙江·七年级专题练习）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可；（2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可；（3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【点睛】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则．考点5、有理数的除法简算【解题技巧】同有理数的乘法运算技巧类似。例1．（2022·成都市七年级课时练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1);(2);(3);(4)1;(5)－2;(6)－14【详解】试题分析：（1）（2）（3）利用带分数的性质，把复杂的数写成两个数的和，再用乘法分配律计算；（4）（5）（6）把乘数运算，带分数，统一成假分数的乘积形式，约分求解.试题解析：(1).(2).(3).(4).(5).(6).例2．（2022·辽宁大连·七年级校考阶段练习）阅读下列材料：计算：解：原式的倒数为故原式请仿照上述方法计算：【答案】【分析】根据有理数乘法的分配律求出除法的倒数，即可解答．【详解】解：原式的倒数为，故原式．【点睛】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是利用乘法的分配律．变式1．（2022秋·江苏南通·七年级校考阶段练习）计算（能用简便方法的要用简便方法）：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)5.3(2)(3)(4)3750(5)(6)【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；（2）根据有理数的加减法可以解答本题；（3）根据有理数的乘除法可以解答本题；（4）根据乘法分配律简便计算；（5）先计算括号内的，再根据有理数的除法即可解答本题；（6）根据有理数的除法即可解答本题．【详解】（1）解：=5.3；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：；（6）解：．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘除，后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．变式2．（2022秋·江苏无锡·七年级校联考阶段练习）计算(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；（用简便方法计算）(6)；【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）先把减法统一为加法运算，再把同号的两数先加，从而可得答案；（2）先确定运算结果的符号，再把除法转化为乘法运算，约分后可得结果；（3）先把运算统一为加法运算，同步把小数化为分数，再利用加法的运算律进行简便运算即可；（4）利用乘法的分配律进行简便运算即可；（5）把原式化为再利用分配律进行简便运算即可；（6）先计算，把除法化为乘法，利用分配律，再根据倒数的含义可得答案．【详解】（1）（2）（3）（4）（5）（6）∴【点睛】本题考查的是有理数的四则混合运算，掌握“四则混合运算的运算顺序”是解本题的关键．考点6、有理数除法的应用【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。例1．（2023·江苏南京·统考二模）小明、小红在微信里互相给对方发红包．小明先给小红发1元，小红给小明发回2元，小明再给小红发3元，小红又给小明发回4元……按照这个规律，两人一直互相发红包，直到小明给小红发了199元后，小红突然不发回了．若在整个过程中，两人都及时领取了对方的红包，则最终小红的收支情况是（

）A．赚了99元 B．赚了100元 C．亏了99元 D．亏了100元【答案】B【分析】根据一个回合小明赚1元，算出小明给小红发了199元之前赚的钱减去199元求出小明的收支情况，即可得出小红的收支情况．【详解】解：由题意，可得，一个回合小明赚1元，小明给小红发了199元之前赚了元，元，∴小明亏了元，∴小红赚了元；故选B．【点睛】本题考查数字规律探究，解题的关键是得出一个回合，小明赚1元．例2．（2022秋·广东广州·七年级统考期末）为了提高中心城区路内停车泊位周转率，对车长不超过6米的小型、微型汽车的进入停车泊位实行阶梯式收费，具体方案如下：方案计费时段—，停车30分钟内不收费，停车超过30分钟后，不足30分钟按30分钟收费，收费时段外停车免费阶梯梯次第一阶梯第二阶梯第三阶梯单次最高限价停车时长1小时内1—3小时3小时以上计费标准1（元/30分钟）3（元/30分钟）5（元/30分钟）44元(1)A汽车在停车泊位的进场时间是分，离场时间是分，请问A汽车是否需要交费？若要收费，应交停车费多少元？(2)B汽车进入停车泊位时间是晚上时，离场时间是第二天早上时，请求出B汽车应交停车费多少元？(3)C汽车早上时进入停车泊位，离开时收费24元，请求出C汽车离开泊位的时间范围？【答案】(1)不需要(2)元(3)到【分析】（1）先求出A汽车在停车泊位的时间，再根据收费标准即可解答；（2）先求出B汽车在停车泊位的时间，再根据收费标准即可解答；（3）先由总费用减去前两个阶梯段的收费，再除以5得到第三阶梯段的收费时间段数，即可得出结论．【详解】（1）解：A汽车在停车泊位的时间为（分钟），∴A汽车不需要交费；（2）解：根据题意，B汽车在停车泊位需要交费的时间小时48分，∴（元），答：B汽车需要交费元；（3）解：C汽车第三阶梯的停车收费时间段数是，C汽车离开泊位的时间范围到．【点睛】本题考查有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列出算式并正确求解是解答的关键．变式1．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）网上一些推广“成功学”的主播，常引用下面这个被称为竹子定律的段子：“竹子前4年都用在扎根，竹芽只能长，而且这还是深埋于土下．到了第五年，竹子终于能破土而出，会以每天的速度疯狂生长．此后，仅需要6周的时间，就能长到15米，惊艳所有人！”．这段话的确很励志，须不知，要符合算理的话，需将上文“6周”中的整数“6”改为整数（）A．5 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根据题意列出算式进行计算即可．【详解】解：，竹子生长需要的时间为（天），，即竹子长成需要8周的时间，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了有理数除法的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算．变式2．（2023春·山西大同·九年级校考阶段练习）春节期间，小明帮父母打理小区内自己家开的生活便民超市，小明的妈妈告诉小明各种商品的利润率，并要求在利润率不低于的情况下可以销售．小区大妈要买标价为60元/壶的油，大妈要求小明优惠卖给她，小明知道粮油的利润率是，则该壶油的售价至少是（

）A．51元 B．元 C．55元 D．59元【答案】B【分析】先求得进价，根据利润率不低于5%，列式计算即可求解．【详解】解：∵粮油的利润率是20%，∴进价为（元），要求在利润率不低于5%，则该壶油的售价至少是（元），故选：B．【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，理解标价、进价、利润率的关系是解题的关键．变式3．（2023秋·山西·七年级校联考期末）2022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功，“神十四”纪念品也受到了人们的喜爱，某店以元的相同价格售出两件不同的纪念品，其中一件盈利，另一件亏损，则该商店售出这两件纪念品总的盈亏情况为（

）A．亏损20元 B．盈利20元 C．亏损18元 D．不盈不亏【答案】A【分析】根据题意，以元的相同价格售出两件不同的纪念品，盈利纪念品成本为；亏损纪念品成本为，从而得到两件纪念品总成本为，即可得到答案．【详解】解：根据题意，以元的相同价格售出两件不同的纪念品，盈利纪念品成本为；亏损纪念品成本为，两件纪念品总成本为（元），（元），即该商店售出这两件纪念品亏损元，故选：A．【点睛】本题考查有理数运算解决实际应用题，读懂题意，得到两件不同纪念品的成本是解决问题的关键．考点7、有理数除法的新定义问题【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.例1．（2022秋·四川遂宁·七年级校考期中）若“!”是一种数学运算符号，并且：，，，，…，则_________【答案】2022【分析】根据题干所给运算方法可进行求解．【详解】解：由题意得：；故答案为2022．【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算，熟练掌握题中所给运算符号是解题的关键．例2．（2022秋·北京朝阳·七年级校考阶段练习）对于任意的非零有理数a，b，定义：，解决以下问题：(1)计算；(2)计算；(3)请你举例验证一下交换律即在这一运算中是否成立．（举一个例子即可）．【答案】(1)(2)；(3)不成立，见解析【分析】（1）根据新定义直接列式计算即可；（2）根据新定义先计算，再计算即可；（3）令，，分别计算和进行验证即可．【详解】（1）解：；（2）解：，；（3）解：令，，则，，∵，∴在这一运算中不成立．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义的运算是解题的关键．变式1．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2019＝（

）A．3 B．﹣2 C． D．【答案】C【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．【详解】∵a1＝3，a2＝＝﹣2，a3＝，a4＝，a5＝，∴该数列每4个数为1周期循环，∵2019÷4＝504…3，∴a2019＝a3＝．故选：C．【点睛】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．变式2.（2022·河南·鹤壁七年级期中）已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么（

）A．－6 B．－5 C． D．【答案】A【分析】根据题中新定义化简，计算即可解题．【详解】解：根据题意得，故选：A．【点睛】本题考查有理数大小比较及有理数的乘除法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．A级（基础过关）1．（2023·浙江杭州·统考二模）计算下列各式，值最大的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别根据有理数的加法、减法、乘法和除法法则求解得出结果，再比较大小即可得出答案．【详解】解：A．；B、；C．；D．；∵，∴值最大的是A选项，故选：A．【点睛】本题考查了有理数的加法、减法、乘法和除法运算，有理数的大小比较，掌握有理数的运算法则是解题的关键．2．（2023秋·四川南充·七年级统考期末）若使的计算结果为正数，则“”代表的运算不可以是（

）A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法【答案】A【分析】利用有理数的四则运算法则进行计算即可；【详解】A、，故A选项符合题意；B、，故B选项不符合题意；C、，故C选项不符合题意；D、，故D选项不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了有理数的四则运算，熟练掌握有理数的四则运算法则是解题的关键．3．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）计算的结果是（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据有理数乘除运算法则和混合运算顺序，依次计算即可【详解】解：．故选：A．【点睛】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除运算法则是解题的关键．4．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）在算式□的“□”中填上运算符号“＋”“－”“×”或“÷”，要使运算的结果最小，则添加的运算符号是（

）A．＋ B．－ C．× D．÷【答案】A【分析】由、、、，判断出添加的符号．【详解】∵、、、，∴要使运算的结果最小，添加的运算符号是：“＋”故选：A【点睛】本题考查有理数的加减乘除运算，解题的关键是根据法则，正确计算．5．（2023·河北保定·统考一模）下列与相乘等于1的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据有理数加减运算，分别算出，由题意，结合有理数乘除运算可知，结合选项逐项计算即可得到答案．【详解】解：，，与相乘等于1，；；；；故选：D．【点睛】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数加减乘除运算法则是解决问题的关键．6．（2023·陕西西安·统考一模）要使代数式“______”的运算结果最大，则“______”中应填入的运算符号是______“＋、－、×、÷”中选择一个运算符号填如）．【答案】【分析】先根据有理数的运算法则进行运算，再比较大小即可得出答案．【详解】解：∵，，，，又∵，∴要使代数式“______”的运算结果最大，在“______”中应填入的运算符号是．故答案为：．【点睛】本题考查有理数的加、减、乘、除运算和有理数的大小比较．掌握运算法则是解题的关键．7．（2023秋·浙江金华·七年级浙江省兰溪市第二中学校考阶段练习）某种药品的说明书上贴有如图的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是____mg到___mg．【答案】1540【分析】分每天服用和，分次和次两种服用方法，求出每次服用的剂量，确定最小值和最大值，即可得解．【详解】解：每天服用时，分次服用，每次服用：；分次服用，每次服用：；每天服用时，分次服用，每次服用：；分次服用，每次服用：；∴每天最小服用，最多服用；故答案为：．【点睛】本题考查有理数的除法的实际应用．根据题意正确的列出算式进行计算，是解题的关键．8．（2022秋·浙江温州·七年级校考阶段练习）若规定，则______．【答案】【分析】利用新运算的规定先运算括号内的，再运算括号外的．【详解】原式故答案为：．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，理解并熟练应用新运算的规定是解题的关键．9．（2022秋·海南省直辖县级单位·七年级校考期中）计算：__________【答案】【分析】根据有理数的乘除混合运算进行计算即可求解．【详解】解：原式=，故答案为：．【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除的运算法则是解题的关键．10．（2022秋·安徽亳州·七年级校考阶段练习）计算：的结果是___________【答案】【分析】先将除法转化为乘法，再进行计算即可求解．【详解】解：．故答案为：【点睛】本题考查有理数乘除混合运算，熟知有理数的乘除运算法则，把除法转化为乘法运算是解题关键．11．（2022秋·河北邯郸·七年级统考期中）商店运进一种商品共400件，并确定了售价．如果按照售价的九折销售，全部卖出后，能得到6000元的利润．如果按照售价的八五折销售，全部卖出后，能得到2400元的利润．求这件商品的售价是多少元？【答案】180元【分析】先分别列式计算九折与八五折时每件的利润，再利用利润差除以折扣差即可得到答案．【详解】解：（元）（元）

（元）答：这件商品的售价是180元．【点睛】本题考查的是有理数的除法的实际应用，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．12．（2022秋·吉林长春·七年级校考阶段练习）计算.(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）根据有理数的乘除混合运算进行计算即可求解；（2）先将除法转化为乘法，然后根据乘法分配律进行计算即可求解．【详解】（1）解：（2）解：．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则以及运算律是解题的关键．13．（2022秋·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）乘除计算：(1)(2)(3)；(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）解：；（2）；（3）．（4）．【点睛】本题考查的是有理数的乘除混合运算，乘法分配律的应用，掌握“同级运算，按照从左至右的运算顺序进行计算与乘法分配律的应用”是解本题的关键．14．（2022秋·全国·七年级专题练习）居民生活中使用天然气实行阶梯式计价，用户每月用气量在20立方米及以内的为第一级基数，按一级用气价格收取；超过20立方米且不超过30立方米的部分为第二级气量基数，按一级用气价格的1.5倍收取：超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8倍收取．为节约用气量，小明记录了1－7月份他家每月1号的气表读数．1月2月3月4月5月6月7月气表读数（立方米）433450468485500514535（1）直接写出小明家1月份的用气量____________立方米及1－6月平均每月用气量为_______立方米．（2）已知小明家2月份的气费为36元，试求他家6月份需交气费多少元？（3）7月份放暑假后，小明的爷爷、奶奶及表哥来到家里和小明一起生活，并多次请客，用气量明显增加，比6月份多用气12立方米，试求小明家7月份需交纳气费多少元？【答案】（1）；；（2）元；（3）元【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得出小明家月份的用气量和月份平均每月的用气量（2）根据小明家月份的气费为元，可以计算出一级用气价格，再根据小明家月份的用气量超过立方米且不超过立方米，超过立方米的部分按第二级气量基数，结合题意，从而即可计算（3）根据题意，可计算出小明家月的用气量，再结合题意，即可计算【详解】（1）由表格数据可得：小明家月份的用气量为立方米；月份平均每月的用气量为：立方米故答案为：；（2）小明家月份的气费为元，月份的气费量为：一级用气价格为：（元/立方米）月份的用气量为立方米，气量超过立方米且不超过立方米的部分按第二级气量基数，超出部分按一级用气价格的倍收取月份小明家需交气费为：元（3）小明家月份的用气量为：立方米，月份的用气量比月份的多立方米月份的用气量为：立方米气量超过立方米且不超过立方米的部分为第二级气量基数，超出部分按一级用气价格的倍收取，用气量超过立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的倍收取费用月份小明家需交气费为：元【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是明确题意，求出相应的收费标准．B级（能力提升）1．（2022秋·山东·七年级校考阶段练习）与运算结果相同的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据有理数的乘除法则分别计算，再作比较．【详解】解：A、，该选项不符合题意；B、，该选项符合题意；C、，该选项不符合题意；D、，该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考考查了有理数的除法．解题关键点：熟记有理数的除法法则．2．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）如果两个数的和是正数，商是负数，那么这两个数的积是（

）A．正数 B．负数 C．零 D．以上三种结论都有可能【答案】B【分析】根据两个数的积是负数得到两个数异号，而两个数的和是正数，由此即可判定这两个数的符号.【详解】解：∵两个数的商是负数，∴两个数异号，而两个数的和是正数，∴正数的绝对值大于负数的绝对值.∴这两个数的积是负数.故选B.【点睛】本题主要考查了有理数的运算法则，解题关键是利用有理数的运算法则判定两个数的符号.3．（2022秋·浙江温州·七年级校考期中）若两个数的商是正数，则下列选项中一定成立的是（

）A．这两数的和为正数 B．这两数的差为正数C．这两数的积为正数 D．这两数的和、差、积的正负都不能确定【答案】C【分析】应用有理数的乘除法及有理数的加减法法则进行判定即可得出答案．【详解】解：A．当两个数都为负数时，这两个数的商是正数，这两个数的和为负数，故A选项不符合题意；B．当两个数都为负数时，这两个数的商是正数，这两个数的差可能为负数，故B选项不符合题意；C．若两个数的商是正数，则这个两数为同号，这两个数的积为正数，故C选项符合题意；D．若两个数的商是正数，这两数的和、积的正负不能确定，积的正负能确定，故D选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了有理数的乘除法及有理数的加减法，熟练掌握有理数的乘除法及有理数的加减法法则进行判定即可得出答案．4．（2022秋·北京东城·七年级东直门中学校考期末）在如图所示的星形图案中，十个“圆圈”中的数字分别是1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，并且每条“直线”上的四个数字之和都相等．则图中a、b、c、d对应的数字依次为______．【答案】12；9；6；8【分析】根据每条“直线”上的四个数字之和都相等代入计算即可求解．【详解】解：，∴每条直线上的数字之和为24，∵，，，，，∴，故答案为：12；9；6；8【点睛】本题考查有理数的加法和有理数的混合计算，解题关键是根据每条“直线”上的四个数字之和都相等进行计算．5．（2023秋·山东滨州·七年级统考期末）某超市在元旦期间推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元打九折；（3）一次性购物超过300元一律打八五折．元旦这天，小明和妈妈在该超市购物后分别自行付款70元和243元．如果小明和妈妈合作一次性付款，则应付款______元．【答案】289【分析】首先计算出两次购买应该付款的数额，然后根据优惠方案即可求解．【详解】解：∵，，∴小明所购买的商品原价即为70元，妈妈所购买的商品按原价打九折计算，∴妈妈所购买的商品的原价为元，∴此时小明和妈妈购买的商品的总价为元>300元，∴此时小明和妈妈合作一次性付款，则应付款元．故答案为：289．【点睛】本题考查了打折销售的运用，有理数运算的应用．正确求出商品原价是解答本题的关键．6．（2022·成都市七年级校联考课时练习）计算：_______．【答案】【详解】=，得_______根据除数=被除数商=（-16）（-15）=.7．（2023春·重庆沙坪坝·九年级联考阶段练习）40名学生参加义务植树活动，任务是：挖树坑，运树苗．这40名学生可分为甲、乙、丙三类，其中甲类学生15人，乙类15人，丙类10人，每类学生的劳动效率为甲类学生可以挖树坑2个或者运树苗20棵，乙类学生可以挖树坑1.2个或者运树苗10棵，丙类学生可以挖树坑0.8个或者运树苗7棵．如果他们的任务是：挖树坑30个，运树苗不限，那么在完成挖坑任务的同时树苗运得最多为_____棵．【答案】260【分析】先求出这三类学生挖树坑相对于运树苗的相对效率，然后由挖树坑相对效率较高那一类先挖树坑，剩下的再由第二高的先挖，再剩下的就由相对效率最低的再来挖．【详解】解：这三类学生挖树坑的相对效率是甲类：，乙类：，丙类：．由上可知，乙类学生挖树坑的相对效率最高，其次是丙类学生，故应先安排乙类学生挖树坑，可挖：（个）．再安排丙类学生挖树坑，可挖：（个），还差（个）树坑，由两名甲类学生去挖，这样就能完成挖树坑的任务，其余13名甲类学生运树苗，可以运：（棵）．故答案为：260．【点睛】本题关键是根据三类学生的相对效率来求解，挖树坑的效率与运树苗的效率比越高就让他们先来挖树坑，这样效率最高．8．（2022秋·浙江温州·七年级校考阶段练习）有一个水库某天的水位为米（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：米）：，，0，，，．(1)经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？(2)现在由于下暴雨，水库水位以米/小时速度上升，指挥部要求水位降至警戒线1米以下（含1米），现在水库匀速泄水，可使静态水位按米/小时速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间．【答案】(1)未超过(2)5小时【分析】（1）求得上述各数的和，然后根据结果与0的大小关系即可作出判断；（2）根据题意列式求解．【详解】（1）解：，答：水库的水位未超过警戒线．（2）（小时），答：水库需放水小时．【点睛】本题考查了有理数的混合运算及正负数在实际生活中的应用，根据题意列出算式是解题的关键．9．（2022·北京海淀区·七年级期中）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．（1）2020属于类（填A，B或C）；（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于类（填A，B或C）；②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于类（填A，B或C）；（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是（填序号）．①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类．【答案】（1）A；（2）①B；②B；（3）①④【分析】（1）计算2020÷3，根据计算结果即可求解；（2）①从A类数中任取两个数进行计算，即可求解；②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，再除以3，根据余数判断即可求解；（3）根据m，n的余数之和，举例，观察即可判断．【详解】解：（1）2020÷3＝673…1，所以2020被3除余数为1，属于A类；故答案为：A；（2）①从A类数中任取两个数，如：（1+4）÷3＝1…2，（4+7）÷3＝3…2，被3除余数为2，则它们的和属于B类；②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，得（15×1+16×2+17×0）＝47÷3＝15…2，∴余数为2，属于B类；故答案为：①B；②B；（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，余数之和为：m×1+n×2＝m+2n，∵最后的结果属于C类，∴m+2n能被3整除，即m+2n属于C类，①正确；②若m＝1，n＝1，则|m﹣n|＝0，不属于B类，②错误；③若m＝1，n＝1，③错误；④观察可发现若m+2n属于C类，m，n必须是同一类，④正确；综上，①④正确．故答案为：①④．【点睛】本题考查了新定义的应用和有理数的除法，解题的关键是熟练掌握新定义进行解答．10．（2022秋·浙江嘉兴·七年级校联考期中）下面是亮亮同学计算一道题的过程：②③(1)亮亮计算过程从第步出现错误的；（填序号）(2)请你写出正确的计算过程．【答案】(1)①(2)【分析】（1）根据有理数的混合运算，先乘除，然后加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，即可；（2）根据有理数的混合运算，先乘除，然后加减，即可．【详解】（1）∵在的计算过程中，先计算了乘法，而除法和乘法是同级，应该按照从左到右的顺序进行∴应该先计算除法∴错误．故答案为：．（2）．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则．11．（2021·浙江台州市·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．【答案】（1）输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．【分析】（1）先求出每分钟输液多少毫升，进而即可求解；（2）先求出输液10分钟时调整后的药液流速，进而即可求解．【详解】（1）解：75÷15=5（毫升/分钟），250-5×10=200（毫升），答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）（200-160）÷10=4（毫升/分钟），160÷4+20=60（分钟），答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．【点睛】本题考查有理数运算的实际应用，明确时间，流速，输液量三者之间的数量关系，是解题的关键．12．（2023春·上海·七年级专题练习）点游戏是一种扑克牌类的益智类游戏，游戏规则是：从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为或．例如：抽到的数字为“，，，”，则可列式并计算为：．如果♥、◆表示正，♠、♣表示负（如“◆”为“”，“♠”为“”），请对下面两组扑克牌按要求进行记数，并按“点”游戏规则对两组数分别进行列式计算，使其运算结果均为或．①依次记为：_________________

列式计算：__________________．②依次记为：_________________

列式计算：_______．【答案】①，，，；．（答案不唯一，正确即可）②，，，；．（答案不唯一，正确即可）【分析】根据♥、◆表示正，♠、♣表示负结合牌的点数即可表示，出各张牌表示的数，根据“点”游戏规则结合有理数的混合运算法则列式即可．【详解】解：①四张牌依次记为，，，；列式计算得：（答案不唯一，正确即可）；②四张牌依次记为，，，；列式计算得：（答案不唯一，正确即可）．【点睛】本题考查了新定义问题和有理数的混合运算，理解“点”游戏规则并熟练掌握有理数运算法则是解题关键．C级（培优拓展）1．（2023·四川资阳·统考二模）天干地支纪年法源于中国，是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，有十天干与十二地支，如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸4567890123地支子丑寅卯辰已午未申酉戌亥456789101112123算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2014年，尾数4为甲，2014除以12余数为10，10为午，那么2014年就是甲午年．则2023年是(

)A．甲卯年 B．甲寅年 C．癸卯年 D．癸寅年【答案】C【分析】先用2023的尾数3查出天干，再用2023除以12的余数查出地支即可．【详解】2023年，尾数3为癸，2023除以12余数为7，7为卯，那么2023年就是癸卯年，故选：C．【点睛】本题是考查了推理，读懂天干地支的算法是解决本题的关键．2．（2022·江苏宿迁·七年级期末）有两个正数a和b，满足a＜b，规定把大于等于a且小于等于b的所有数记作[a，b],例如大于等于0且小于等于5的所有数记作[0，5]．如果m在[5，15]中，n在[20，30]中，则的一切值所在的范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据m在[5,15]内，n在[20,30]内，可得的最小值与最大值．【详解】解：∵m在[5，15]内，n在[20，30]内，∴5≤m≤15，20≤n≤30，∴的最小值为，最大值为∴的一切值所在的范围是．故选：A．【点睛】本题考查了新定义的有理数运算，关键是得到5⩽m⩽15，20⩽n⩽30，求出的最大与最小值．3．（2022·江苏·七年级）已知“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式Cnm=（n＞m），则C125=（

）A．60 B．792 C．812 D．5040【答案】B【分析】根据公式和新定义的运算将数值代入公式求解即可．【详解】解：C125=故选：B．【点睛】关键是根据给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法进行解答．4．（2022秋·浙江温州·七年级校考阶段练习）若计算式子的结果为最大，则应分别在，△中填入下列选项中的（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】将四个选项中的运算符号分别代入式子中进行运算，通过比较结果即可得出结论．【详解】解：当选取A选项的符号时，；当选取B选项的符号时，；当选取C选项的符号时，；当选取D选项的符号时，，∵当选取D选项的符号时，计算式子的结果最大，故选：D．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．5．（2022·湖北武汉·七年级期中）下列说法：①若a，b互为相反数，则＝﹣1；②如果|a+b|＝|a|+|b|，则ab≥0；③若x表示一个有理数，则|x+2|+|x+5|+|x﹣2|的最小值为7；④若abc＜0，a+b+c＞0，则的值为﹣2．其中一定正确的结论是____（只填序号）．【答案】②③##③②【分析】根据相反数和绝对值的意义讨论即可得出答案．【详解】①若a，b互为相反数，则,不能得出，故①错误；②当或时，成立，当或时，，成立，则或，即，故②正确；③表示到数、、三个点的距离之和，所以时，取得最小值，最小值为，故③正确；④当且时，，故④错误．故答案为：②③．【点睛】本题考查相反数与绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键．6．（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）因疫情防控需要，一辆货车在早上8：00从甲地出发运送防疫物资到距离乙地，后货车到达离甲地的服务区休息，此时一辆轿车正从甲地急送防疫专家到乙地．10：00货车以原来的速度继续行驶，11：00轿车在距离甲地处追上了货车，两车继续向乙地行驶．（1）货车的速度是______．（2）轿车比货车早_____到达乙地．【答案】601.2【分析】（1）根据货车从服务区到轿车追上货车所用的时间和路程求解即可；（2）首先根据货车的速度和总路程求出货车到达乙地的时间，然后求出轿车的速度，进而得到轿车到达乙地的时间，求解即可．【详解】（1）∵货车从服务区到轿车追上货车一共1小时，路程为∴货车的速度为（2）轿车追上货车后货车行驶到乙地用的时间为货车到达服务区的时间∴轿车9：30从甲地出发，∴轿车从出发到追上货车公用了∴轿车的速度为∴轿车追上货车后轿车行驶到乙地用的时间为∴∴轿车比货车早到达乙地．故答案为：60，1.2．【点睛】此题考查了有理数除法的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．7.（2022·四川成都·七年级期末）元旦节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过