陕西省西安市爱知中学高一数学文月考试题含解析

陕西省西安市爱知中学高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则的值为（

）A.10 B.30 C.25 D.15参考答案：D【分析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质化简已知条件和所求表达式，由此求得正确选项.【详解】由于数列为等差数列，故.，故选D.【点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式，考查等差数列性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.2.一圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线与底面所成角是（

）A．30°

B．45°

C.60°

D．75°参考答案：C设圆锥的母线长为R，底面半径为r，则：πR=2πr，∴R=2r，∴母线与底面所成角的余弦值==，∴母线与底面所成角是60°．故选：C．

3.如图为一个几何体的三视图，三视图中的两个不同的正方形的边长分别为1和2，则该几何体的体积为（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中三视图可得该几何体是一个大正方体挖去一个小正方体所得的组合体，分别求出它们的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中三视图可得该几何体是一个大正方体挖去一个小正方体所得的组合体，大正方体的棱长为2，故体积为：8；小正方体的棱长为1，故体积为：1；故组合体的体积V=8﹣1=7，故选：B4.在△ABC中，a=3，b=2，A=，则cosB=（）A． B．或 C． D．或参考答案：C【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由正弦定理求得sinB，再根据同角的三角函数基本关系求得cosB，利用大边对大角，判断B为锐角，即可求得cosB的值．【解答】解：由正弦定理可知：，sinB===，由同角的三角函数关系可知：cosB=±=±=±，由a＞b，∴A＞B，∴B为锐角，cosB＞0，故cosB=．故答案选：C．5.（4分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，6}，B={1，3，5，7}，则A∩（?UB）等于（） A． {2，4，6} B． {1，3，5} C． {2，4，5} D． {2，5}参考答案：A考点： 交、并、补集的混合运算．专题： 集合．分析： 根据全集U及B求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．解答： ∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，B={1，3，5，7}，∴?UB={2，4，6}，∵A={2，4，6}，∴A∩（?UB）={2，4，6}．故选：A．点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6.下列四个函数：①；②；③；④.

其中值域为R的函数有(

)．A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

参考答案：B7.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是A.在时刻，甲车在乙车前面

B.时刻后，甲车在乙车后面C.在时刻，两车的位置相同D.时刻后，乙车在甲车前面参考答案：解析:由图像可知，曲线比在0～、0～与轴所围成图形面积大，则在、时刻，甲车均在乙车前面，选A.8.在△中，若，则等于（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C略9.若x＜，则等于(

)A．3x﹣1 B．1﹣3x C．（1﹣3x）2 D．非以上答案参考答案：B【考点】方根与根式及根式的化简运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用根式的运算性质即可得出．【解答】解：∵x＜，∴1﹣3x＞0．∴==|1﹣3x|=1﹣3x．故选：B．【点评】本题考查了根式的运算性质，属于基础题．10.已知函数（

）A．在区间（-1，0）上是增函数

B．在区间（0，1）上是增函数C．在区间（-2，0）上是减函数

D．在区间（0，2）上是减函数参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列命题：①已知集合M满足??M?{1，2，3，4，}，且M中至多有一个偶数，这样的集合M有6个；②函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2，在区间（﹣∞，4）上为减函数，则a的取值范围为0≤a≤；③已知函数f（x）=，则；④如果函数y=f（x）的图象关于y轴对称，且f（x）=（x﹣2014）2+1（x≥0），则当x＜0时，f（x）=（x+2014）2﹣1；其中正确的命题的序号是．参考答案：②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由集合的列举法，即可判断①；讨论a=0，a＞0，结合二次函数的单调性，即可判断②；求出f（x）+f（）==1，即可判断③；函数y=f（x）的图象关于y轴对称，则f（﹣x）=f（x），当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数式，化简即可判断④．【解答】解：对于①，集合M满足??M?{1，2，3，4，}，且M中至多有一个偶数，列举为{1}，{3}，{1，3}，{2}，{4}，{1，2}，{2，3}，{1，2，3}，{1，4}，{3，4}，{1，4，3}共11个，故①错；对于②，函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2，在区间（﹣∞，4）上为减函数，则a=0或a＞0，且﹣1+≥4，解得0≤a≤，故②对；对于③，函数f（x）=，则f（x）+f（）==1，故，则③对；对于④，函数y=f（x）的图象关于y轴对称，且f（x）=（x﹣2014）2+1（x≥0），则当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x﹣2014）2+1=f（x），则f（x）=（x+2014）2+1，故④错．故答案为：②③．12.若，则=

参考答案：313.定义运算

已知函数，则

．参考答案：414.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为BB1、CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为______.参考答案：【分析】异面直线所成角，一般平移到同一个平面求解。【详解】连接DF，异面直线与所成角等于【点睛】异面直线所成角，一般平移到同一个平面求解。不能平移时通常考虑建系，利用向量解决问题。15.设，则分别是第

象限的角。参考答案：一、二

解析：

得是第一象限角；得是第二象限角16.若方程有两个解，则a的取值范围

参考答案：略17.已知母线长为6，底面半径为3的圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，则球的体积是参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，（为实常数）（1）若，将写出分段函数的形式，并画出简图，指出其单调递减区间；（2）设在区间上的最小值为，求的表达式。参考答案：（1），

的单调递减区间为和

（2）当时，，，在上单调递减，当时，当时，，（ⅰ）当，即时，此时在上单调递增，时，（ⅱ）当，即时，当时，（ⅲ）当，即时，此时在上单调递减，时

当时，，，此时在上单调递减，时

综上：

略19.（本小题满分12分）某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．(Ⅰ)如果增加x台机器，每天的生产总量为件，请你写出与之间的关系式；(Ⅱ)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？参考答案：解：（1）由题意有，整理得………………6分

（2）由得，所以增加8台机器每天生产的总量最大，最大生产总量为30976个。

…………12分

20.已知函数f（x）=lg[（）x﹣2x]．（1）求f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）在定义域上的单调性并给出证明．参考答案：（1）要使f（x）有意义，须（）x﹣2x＞0，即2﹣x＞2x，利用指数函数的单调性解出即可得出．（2）f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．利用定义及其指数函数的单调性即可给出证明．解：（1）要使f（x）有意义，须（）x﹣2x＞0，即2﹣x＞2x，可得：﹣x＞x，∴x＜0．∴函数f（x）的定义域为{x|x＜0}．（2）f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．下面给出证明：设x2＜0，x1＜0，且x2＞x1，则x2﹣x1＞0令g（x）=（）x﹣2x，则g（x2）﹣g（x1）=﹣﹣+=﹣+﹣==∵0＜＜1，x1＜x2＜0，∴﹣＜0g（x2）﹣g（x1）＜0，∴g（x2）＜g（x1）∴lg[g（x2）]＜lg[g（x1）]，∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．21.已知圆心为C的圆经过点A（1，1），B（2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1=0上 （1）求圆C的标准方程 （2）求过点（1，1）且与圆相切的直线方程． 参考答案：【考点】圆的切线方程． 【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆． 【分析】（1）设圆心C（a，a+1），根据CA=CB，可得（a﹣1）2+（a+1﹣1）2=（a﹣2）2+（a+1+2）2，解得a的值，可得圆心的坐标和半径CA，从而得到圆C的方程． （2）求出切线的斜率，可得过点（1，1）且与圆相切的直线方程． 【解答】解：（1）∵圆心C在直线l：x﹣y+1=0上，设圆心C（a，a+1）， ∵圆C经过点A（1，1）和B（2，﹣2），∴CA=CB， ∴（a﹣1）2+（a+1﹣1）2=（a﹣2）2+（a+1+2）2， 解得a=﹣3，∴圆心C（﹣3，﹣2），半径CA=5， ∴圆C的方程为（x+3）2+（y+2）2=25． （2）因为点A（1，1）在圆上，且kAC= 所以过点（1，1）切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），化简得4x+3y﹣7=0． 【点评】本题主要考查求圆的标准方程，两个圆的位置关系的判断方法，属于中档题．22.（16分）二次函数f（x）=x2+qx+r满足，其中m＞0．（1）判断的正负；（2）求证：方程f（x）=0在区间（0，1）内恒有解．参考答案：考点： 二次函数的