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文档简介
山西省阳泉市职业高级中学高一数学文测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.设是单位向量,,则四边形是(
) 梯形 菱形 矩形 正方形参考答案:B2.设,则“”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案:A【详解】由题意得,不等式,解得或,所以“”是“”的充分而不必要条件,故选A.考点:充分不必要条件的判定.3.已知函数f(x)=,则f(﹣)+f()=()A.3 B.5 C. D.参考答案:A【考点】函数的值.【分析】利用分段函数的性质求解.【解答】解:∵函数f(x)=,∴f(﹣)=f()﹣1=﹣1=1,f()==2,∴f(﹣)+f()=1+2=3.故选:A.4..、A.(0,4)
B.(-1.1)
C.(-,0)(4,+)
D.参考答案:C略5.已知函数在区间上恒成立,则实数a的最小值是(
)A. B. C. D.参考答案:D【分析】直接利用三角函数关系式恒等变换,把函数的关系式变形为正弦型函数,进一步利用恒成立问题的应用求出结果.【详解】函数,由因为,所以,即,当时,函数的最大值为,由于在区间上恒成立,故,实数的最小值是.故选:D【点睛】本题考查了两角和的余弦公式、辅助角公式以及三角函数的最值,需熟记公式与三角函数的性质,同时考查了不等式恒成立问题,属于基出题6.在正方体内任取一点,则该点在正方体的内切球内的概率为?(
)(A)?
(B)?
(C)?
(D)
参考答案:B7.设数列是以2为首项,1为公差的等差数列,是以1为首项,2为公比的等比数列,则
(
)A.1033
B.1034
C.2057
D.2058参考答案:A略8.设,且则(
) A. B. C. D.参考答案: C略9.函数的图象的一个对称中心是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B
解析:
10.若直线经过两点,则直线的倾斜角为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.
参考答案:12.已知,则的值是_____________。参考答案:
解析:,13.已知m、n是不同的直线,α、β是不重合的平面,给出下列命题:①若α//β,mα,nβ,则m//n;②若m,nα,m//β,n//β,则α//β;③若m//α,nα,则m//n;④若m//n,m⊥α,则n⊥α。其中真命题的序号是__________。参考答案:略14.过圆柱OO1轴的平面截圆柱,截面是边长为10cm的正方形ABCD,在圆柱的侧面上从A到C的最短距离为
cm.参考答案:15.若关于的方程有实根,则的取值范围是________.
参考答案:略16.甲、乙两人下棋,两人下和棋的概率为,乙获胜的概率为,则甲获胜的概率为_______________参考答案:略17.函数f(x)=的定义域是________________________.参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)与g(x)=log4(a?2x﹣a),其中f(x)是偶函数.(1)求实数k的值及f(x)的值域;(2)求函数g(x)的定义域;(3)若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.参考答案:【考点】函数奇偶性的性质;函数的定义域及其求法.【专题】综合题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.【分析】(1)根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值;(2)当a?2x﹣a>0时,函数解析式有意义,分类讨论,即可求函数g(x)的定义域;(3)根据函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,即可得到结论.【解答】解:(1)由函数f(x)是偶函数可知f(x)=f(﹣x),∴log4(4x+1)+kx=log4(4﹣x+1)﹣kx,∴log4=﹣2kx,即x=﹣2kx对一切x∈R恒成立,∴k=﹣.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2)当a?2x﹣a>0时,函数解析式有意义当a>0时,2x>,得x>log2;当a<0时,2x<,得x<log2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上,当a>0时,定义域为{x|x>log2};当a<0时,定义域为{x|x<log2};﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,即方程log4(4x+1)﹣x=log4(a?2x﹣a)有且只有一个实根,即方程2x+=a?2x﹣a,有且只有一个实根,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令t=2x>0,则方程(a﹣1)t2﹣a﹣1=0有且只有一个正根,①当a=1时,t=﹣,不合题意;②当a≠1时,由△=0得a=或﹣3,若a=,则t=﹣2不合题意;若a=﹣3,则t=满足要求;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若△>0,则此时方程应有一个正根与一个负根,∴<0,∴a>1,又△>0得a<﹣3或a>,∴a>1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上,实数a的取值范围是{﹣3}∪(1,+∞).﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用,以及对数的基本运算,考查学生的运算能力,综合性较强.19.已知三角形ABC的顶点坐标为A(﹣1,5)、B(﹣2,﹣1)、C(4,3).(1)求AB边上的高线所在的直线方程;(2)求三角形ABC的面积.参考答案:【考点】直线的一般式方程.【分析】(1)由题意可得AB的斜率,可得AB边高线斜率,进而可得方程;(2)由(1)知直线AB的方程,可得C到直线AB的距离为d,由距离公式可得|AB|,代入三角形的面积公式可得.【解答】解:(1)由题意可得,∴AB边高线斜率k=,∴AB边上的高线的点斜式方程为,化为一般式可得x+6y﹣22=0;(2)由(1)知直线AB的方程为y﹣5=6(x+1),即6x﹣y+11=0,∴C到直线AB的距离为d=,又∵|AB|==,∴三角形ABC的面积S=20.(本小题满分10分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需要增加投入100元,已知总收益满足函数:,其中是仪器的月产量.(Ⅰ)将利润元表示为月产量台的函数;(Ⅱ)当月产量为何值时,公司所获得利润最大?最大利润是多少?(总收益=总成本+利润).参考答案:(Ⅰ)由题设,总成本为,则(Ⅱ)当时,,当时,;当时,是减函数,则.所以,当时,有最大利润元.21.【本题满分15分】
过点P(2,1)的直线l与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B.
(1)求u=|OA|+|OB|的最小值,并写出取最小值时直线l的方程;
(2)求v=|PA|·|PB|的最小值,并写出取最小值时直线l的方程.参考答案:解:(1)设点A(a,0),B(0,b),直线l:+=1(a,b>0)
∵P(2,1)在直线l上∴+=1∴b=,∵a,b>0∴a>2
u=|OA|+|OB|=a+b=a+=a-2++3≥2+3=2+3
当且仅当a-2=(a>2),即a=2+时等号成立.此时,b=1+
∴umin=2+3,此时,l:+=1,即:x+y-2-=0
法二:u=|OA|+|OB|=a+b=(a+b)·=3++≥3+2
当且仅当=且+=1,即a=2+,b=1+时等号成立.(下略).
(2)法一:由(1)知:v=|PA|·|PB|=·∵b-1=-1=
∴v2=[(a-2)2+1]·=4(a-2)2++8≥2+8=16.
当且仅当(a-2)2=(a>2),即a=3时等号成立,此时,b=3.
∴umin=4,此时,l:+=1,即:x+y=3.
法二:设l的倾斜角为θ(<θ<π),则|PA|==,|PB|==-
∴v=|PA|·|PB|=·=-≥4,当且仅当sin2θ=-1(<θ<π),即θ=时等号成立,此时,kl=-1,∴l:y=3-x.22.数列的前项和为,.(1)证明数列是等比数列,求出数列的通项公式.(2)设,求数列的前项和.(3)数列中是否存在三项,它们可以
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