高三数学一轮复习 第17讲 数列概念及等差数列教案

1、数列概念及等差数列教学目标1数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数；2通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式；3能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等差数列与一次函数的关系。命题走向数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高。预测2014年高考：1题型既有

2、灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题；2知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题。教学准备多媒体课件教学过程一知识梳理：1数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，序号为 的项叫第项（也叫通项）记作；数列的一般形式：，简记作 。（2）通项公式的定义：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如，数列的通项公式是= （7，）

3、，数列的通项公式是= （）。说明：表示数列，表示数列中的第项，= 表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，= =； 不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值，通常用来代替，其图象是一群孤立点。（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小

4、关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。（5）递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式。2等差数列（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。（2）等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。（3）等差中项的概念：定义：如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中 ，成等差数列。

5、（4）等差数列的前和的求和公式：。二典例分析(2012天津南开中学月考)下列公式可作为数列an：1,2,1,2,1,2，的通项公式的是()Aan1BanCan2 Dan由an2可得a11，a22，a31，a42，.C若本例中数列变为：0,1,0,1，则an的一个通项公式为_答案：an由题悟法1根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整2根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想以题试法1写出下面数

6、列的一个通项公式(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)3,33,333,3 333，；(4)1，.解：(1)各项减去1后为正偶数，所以an2n1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，所以an.(3)将数列各项改写为，分母都是3，而分子分别是101,1021,1031,1041，.所以an(10n1)(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为21，偶数项为21，所以an(1)n，也可写为an由an与Sn的关系求通项an典题导入已知数列an的

7、前n项和Sn，根据下列条件分别求它们的通项an.(1)Sn2n23n；(2)Sn3n1.(1)由题可知，当n1时，a1S1212315，当n2时，anSnSn1(2n23n)4n1.当n1时，4115a1，故an4n1.(2)当n1时，a1S1314，当n2时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1.当n1时，23112a1，故an由题悟法已知数列an的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达

8、式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写以题试法2(2012聊城模拟)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn，则()A.B.C. D30解析：选D当n2时，anSnSn1，则a5.数列的性质典题导入已知数列an的通项公式为ann221n20.(1)n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)n为何值时，该数列的前n项和最小？(1)因为ann221n202，可知对称轴方程为n10.5.又因nN*，故n10或n11时，an有最小值，其最小值为11221112090.(2)设数列的前n项和最小，则有an0，由n221n200，解得1n20，故数列an从第21项

9、开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小在本例条件下，设bn，则n为何值时，bn取得最小值？并求出最小值解：bnn21，令f(x)x21(x0)，则f(x)1，由f(x)0解得x2或x2(舍)而425，故当n4时，数列bn单调递减；当n5时，数列bn单调递增而b442112，b552112，所以当n4或n5时，bn取得最小值，最小值为12.由题悟法1数列中项的最值的求法根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数anf(n)，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值2前n项和最值的求法(1)先求出数列的前n项和Sn，根据Sn的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若am0，且a

10、m10，则Sm最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.以题试法3(2012江西七校联考)数列an的通项an，则数列an中的最大值是()A3 B19C. D.解析：选Can，由基本不等式得，由于nN*，易知当n9或10时，an最大在数列an中，a13，an2an12n3(n2，且nN*)(1)求a2，a3的值；(2)设bn(nN*)，证明：bn是等差数列(1)a13，an2an12n3(n2，且nN*)，a22a12231，a32a223313.(2)证明：对于任意nN*，bn1bn1，数列bn是首项为0，公差为1的等差数列由题悟法1证明an为等差数列的方法：(1)用定义证明：anan1d(d

11、为常数，n2)an为等差数列；(2)用等差中项证明：2an1anan2an为等差数列；(3)通项法：an为n的一次函数an为等差数列；(4)前n项和法：SnAn2Bn或Sn.2用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an1and和anan1d，但它们的意义不同，后者必须加上“n2”，否则n1时，a0无定义以题试法1已知数列an的前n项和Sn是n的二次函数，且a12，a22，S36.(1)求Sn；(2)证明：数列an是等差数列解：(1)设SnAn2BnC(A0)，则解得A2，B4，C0.故Sn2n24n.(2)证明：当n1时，a1S12.当n2时，anSnSn12n24n4n6.an4n6(nN*

12、)an1an4，数列an是等差数列.等差数列的基本运算典题导入(2012重庆高考)已知an为等差数列，且a1a38，a2a412.(1)求an的通项公式；(2)记an的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk2成等比数列，求正整数k的值(1)设数列an的公差为d，由题意知解得所以ana1(n1)d22(n1)2n.(2)由(1)可得Snn(n1)因为a1，ak，Sk2成等比数列，所以aa1Sk2.从而(2k)22(k2)(k3)，即k25k60，解得k6或k1(舍去)，因此k6.由题悟法1等差数列的通项公式ana1(n1)d及前n项和公式Snna1d，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个

13、就能求另外两个，体现了方程的思想2数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法以题试法2(1)在等差数列中，已知a610， S55，则S8_.(2)(2012江西联考)设等差数列an的前n项和为Sn，若1，则公差为_解析：(1)a610，S55，解方程组得则S88a128d8(5)28344.(2)依题意得S44a1d4a16d，S33a1d3a13d，于是有1，由此解得d6，即公差为6.答案：(1)44(2)6等差数列的性质典题导入(1)等差数列an中，若a1a4a739，a3a6a927，则前9项和S9等于()A66

14、B99C144 D297(2)(2012天津模拟)设等差数列an的前n项和Sn，若S48，S820，则a11a12a13a14()A18 B17C16 D15(1)由等差数列的性质及a1a4a739，可得3a439，所以a413.同理，由a3a6a927，可得a69.所以S999.(2)设an的公差为d，则a5a6a7a8S8S412，(a5a6a7a8)S416d，解得d，a11a12a13a14S440d18.(1)B(2)A由题悟法1等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题2应用等

15、差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系以题试法3(1)(2012江西高考)设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_.(2)(2012海淀期末)若数列an满足：a119，an1an3(nN*)，则数列an的前n项和数值最大时，n的值为()A6 B7C8 D9解析：(1)设两等差数列组成的和数列为cn，由题意知新数列仍为等差数列且c17，c321，则c52c3c1221735.(2)an1an3，数列an是以19为首项，3为公差的等差数列，an19(n1)(3)223n.设前k项和最大，则有即解得k.kN*，k7.故满足条件的n的值为7.答案：(1)35(2)B板书设计数列概念及等差数列 1数列的概念（1）数列定义（2）通项公式的定义（3）数列的函数特征与图象表示（4）数列分类：（5）递推公式定义2等差数列（1）等差数列定义。（2）等差数列的通项公