第三章-计算机控制系统的数学基础学生版

1、第三章 计算机控制系统的数学基础,3.0 概述 3.1 差分方程 3.2 z 变换 3.3 逆z 变换 3.4 脉冲传递函数,主要参考书： 、自动控制理论基础 戴忠达主编清华大学出版社 第六章：采样离散控制系统,、计算机控制系统 高金源主编高等教育出版社 第章：计算机控制系统的数学描述,3.0 概述,计算机控制系统中，被控对象的参数往往是模拟量，如速度、压力、流量、液位等，而计算机系统在离散时刻起控制作用，因此系统中包含了模拟信号、离散信号和经过量化得到的数字信号。分析和设计计算机控制系统必须以它的数学模型为基础，并根据计算机控制系统的特点进行具体分析和处理。从本质上讲，计算机控制系统隶属于离

2、散时间系统。本章将介绍离散系统的数学描述和 z 变换分析方法，以便分析线性离散系统的性能，为设计系统准备。,计算机控制系统典型结构一,计算机控制系统典型结构二,计算机控制系统典型结构三,U(z),PID控制器的控制算法（差分方程）,D(z)=U(z)/E(z),1.差分方程的一般概念 2.差分方程的求解 经典法（不作介绍） 叠代法（计算机编程实现-MATLAM） Z变换法（本章重点介绍）,3.1 差分方程,n 阶常系数线性差分方程:,1.差分方程的一般概念,前向型差分方程：,后向型差分方程：,2、差分方程求解,差分方程的求解方法有：经典法、叠代法、z变换法。 关于差分方程解的两个概念： 零输入

3、响应 当系统中无输入函数 r(k) 作用时，系统可由其齐次差分方程描述。, 零状态响应 当输入函数 r(k) 作用于系统之前，系统是静止的，系统的响应完全是由输入引起的，既：,叠代法（手算和MATLAB编程）,n=10;yk1=1;yk2=0;rk=1; for k=2:n yk=5*yk1-6*yk2+rk; k,yk yk2=yk1; yk1=yk; end,3.2z 变换,1. Z变换的定义及常用函数的Z变换 2. Z变换的性质 3. 求Z变换 3. 用Z变换解线性常系数差分方程,1.Z变换的定义及常用函数的Z变换,(一)对于序列 其Z变换定义为:,连续函数f(t）,采样函数,离散序列,

4、两点注意： 1、函数的Z变换表示的是各个离散点的信息,2、连续函数的Z变换指的是函数采样后、采样点的信息具有相同Z变换形式的连续函数可以是不同的,(二)常用函数的z 变换(课本P68表3.2),2z变换的性质和定理,z变换有很多重要性质，可用于计算或直接分析离散控制系统，其中最常用的性质叙述如下。 (1)线性性质,(2)求和定理（叠加定理）,叠加定理例题,已知,是滞后一拍的单位阶跃序列,求F（Z）,(8)卷积定理（序列卷积）,终值定理例题, 按定义求Z变换(级数求和), 部分分式法求Z变换, 留数计算法求Z变换,连续函数G(S) 离散为G(Z),3.求Z变换, 部分分式法求Z变换（查表法补充）

5、,部分分式法求Z变换例题,MATLAB程序,F=sym(s+2)/(s*(s+1)2*(s+3); numF,denF=numden(F); PnumF=sym2poly(numF); PdenF=sym2poly(denF); R,P,K=residue(PnumF,PdenF),部分分式MATLAB程序2,num=2,5,3,6; den=1,6,11,6; r,p,k=residue(num,den),留数计算法求Z变换（补充）,留数计算法求Z变换例题,第一步： 对差分方程做Z变换,4.用z变换法解线性常系数差分方程,第二步： 利用已知的初始条件或求出初始条件，代入,第三步； 求出Y（Z

6、）,第四步 ； 采用求逆Z变换的方法求出,3.3 逆z变换,在离散系统中应用z变换，也是为了把描述离散系统的差分方程转换为z的代数方程，然后写出离散系统的脉冲传递函数，再用逆z变换法求出离散系统的时间响应。 所谓逆z变换，是已知z变换表达式F(z)，求相应离散序列f(kT)的过程。,常用的逆z变换法有如下三种： 部分分式展开法；幂级数展开法(长除法)；留数计算法。 1.部分分式展开法 部分分式展开法又称查表法，其基本思想是根据已知的F(z)，通过查z变换表找出相应的f(kT),然而z变换表的内容有限，需要把F(z)展开成部分分式以便查表。具体方法和求拉普拉斯变换的部分分式展开法类似，分为特征方

7、程无重根和有重根两种情况。,2幂级数展开法(长除法),3留数计算法,反变换例题,（）留数计算法,3.4 脉冲传递函数,1.脉冲传递函数的定义 2.脉冲传递函数的求法 3.脉冲传递函数与差分方程 4.开环脉冲传递函数 5.闭环环脉冲传递函数,1脉冲传递函数的定义 线性离散系统的脉冲传递函数定义为零初始条件下，系统或环节的输出采样函数Z变换和输入采样函数z变换之比。,已知R(z)和G(z)，则在零初始条件下，线性定常离散系统的输出采样信号为 由于R(z)是已知的，求出系统的脉冲传递函数G(z)即可以求输出采样信号Y*(t)。,2脉冲传递函数的求法 脉冲传递函数的含义是：系统脉冲传递函数G(z)就系

8、统单位脉冲响应g(t)的采样值g*(t)的z变换。即用下式表示,因此当系统的传递函数G(s)已知时，可按下列步骤求脉冲传递函数G(z)。 用拉普拉斯变换求脉冲过渡函数g(t)=-1G(s)； 将g(t)按采样周期离散化得g(kT)； 根据式(344)求得脉冲传递函数G(z)。,3.脉冲传递函数与差分方程 在系统初始条件为零的情况下，脉冲传递函数与差分方程之间可以相互转换。 典型的线性离散系统差分方程,在系统初始条件为零的情况下，对上式求z变换,系统的脉冲传递函数为,4.开环脉冲传递函数, 广义对象脉冲传递函数G（Z） 串联环节脉冲传递函数运算规则 中间有采样环节 中间无采样环节 输入处无采样开

9、关 并联环节脉冲传递函数运算规则,则广义对象脉冲传递函数G（Z）为：, 广义对象脉冲传递函数G（Z）,例3.10 求某计算机控制系统中一个连续环节Gp(s) 的脉冲传递函数。,解法一：按定义,解法二：直接计算法,(1)串联环节之间有采样开关情况,结论：当输入处无采样开关时，求不出输出对输入的开环脉冲传递函数，只能求出输出采样信号的z变换。,5.闭环脉冲传递函数, 结构原理图 闭环脉冲传递函数 误差脉冲传递函数 闭环脉冲传递函数的基本计算原则,结构图： 典型系统一：基本离散系统,典型系统二：计算机控制系统,闭环脉冲传递函数,闭环误差脉冲传递函数,基本离散系统的闭环脉冲传递函数和误差脉冲传递函数,计算机控制系统的闭环脉冲传递函数