证明三角形三条高交于一点.doc

证明三角形三条高交于一点 资料证法一：运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。已知：ABC的两条高BE、CF相交于点O，第三条高AD交高BD于点Q，交高CF于点P。求证：P、Q、O三点重合证明：如图，BEAC，CFABAEB = AFC = 90°又BAE = CAFABE ACF，即AB·AF = AC·AE又ADBCAEQ ADC，AFP ADB，即AC·AE = AD·AQ，AB·AF = AD·APAB·AF = AC·AE，AC·AE = AD·AQ，AB·AF = AD·APAD·AQ = AD·APAQ = AP点Q、P都在线段AD上点Q、P重合AD与BE、AD与CF交于同一点两条不平行的直线只有一个交点BE与CF也交于此点点Q、P、O重合。证法二：连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边，运用四点共圆性质。已知：ABC的两条高AD、BE相交于点O，第三条高CF交高AB于点F，连结CO交AB于点F。求证：CFAB。证明:ADBC于E，BEAC于EA、B、D、E四点共圆1ABE同理212ABEABE+BAC90°，2+BAC90°即CFAB。证法三：证明两条高的交点在第三条高线上，建立直角坐标系运用代数方法证明。证明：如图6，以直线BC为x轴，高AD为y轴，建立直角坐标系，设A(0 , a) , B(b , 0) , C(c , 0),由两条直线垂直的条件xCDOyABFE则三条高的直线方程分别为：解（2）和（3）得 这说明BE和CF得交点在AD上，所以三角形的三条高相交于一点。证法四：转化为证明另一个三角形的三条中垂线（或中线）交于一点。已知：AD、BE、CF是ABC的三条高。求证：AD、BE、CF相交于一点。证明：过点A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线ML、MN、NL AMBC，MBAC 四边形AMBC是平行四边形 AMBC 同理，ALBC AMAL ADMLAD是ML的垂直平分线同理，BE、CF分别是MN、NL的垂直平分线而三角形的三条垂直平分线相交于一点 AD、BE、CF相交于一点。证法五：运用锡瓦（Ceva）定理证明。已知：AD、BE、CF是ABC的三条高。求证：AD、BE、CF相交于一点。证明：如图，ADBC于E，BEAC于E ABD CBF （1）同理，由ADC BEC得 ， （2）由AFC AEB （3）三式相乘得 即AD、BE、CF相交于一点。