定二次型

定二次型Tag内容描述：<p>1、5-4 正定二次型 本节中讨论实数域上(正惯性指数等于二次型阶数)占有特殊地位的二次型正定二次型。,一、正(负)定二次型的概念,为正定二次型,为负定二次型,例如,实二次型 是正定的当且仅当,证明,二、正(负)定二次型的判别,Definition 5 .称实对称矩阵A为正定矩阵,若A确定的二次型 XAX 是正定二次型. 一个实对称矩阵A是正定的充分必要条件是矩阵A与单位矩阵合同. 推论:正定矩阵的行列式大于零.,这个定理称为霍尔维茨定理,定理6 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶主子式为正，即,对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负。</p><p>2、8.3 复二次型与实二次型,授课题目： 8.3 复二次型与实二次型 授课时数： 3学时 教学目标： 掌握复二次型与实二次型的性 质，会将给定的复二次型与实 二次型化为标准形 教学重点：复二次型与实二次型的性质 教学难点：复二次型与实二次型的性质,系数在复数（实数）数域上的二次型，简称复 (实)二次型，与之对应的矩阵实复（实）对称 矩阵，对它们进行的可逆线型替换的系数也是 复数（实数），称之。</p><p>3、8.3 复二次型与实二次型授课题目：8.3 复二次型与实二次型授课时数：3学时教学目标：掌握复二次型与实二次型的性质，会将给定的复二次型与实二次型化为标准型教学重点：复二次型与实二次型的性质教学难点：复二次型与实二次型的性质教学过程：1. 复(实)二次型与复（实）变换我们知道，在一般数域内二次型的标准形不是惟一的，而与所作的可逆线型替换有关，这同时也告诉我们：不能简。</p><p>4、第3节 二次型与二次型的化简,下页,一、二次型的定义,二、二次型的化简（矩阵的合同）,二次型概念的引入,下页,ax2 + 2bxy + cy2 = 1,a b b c,1/25 0 0 1/9,定义1 含有n个变量的二次齐次多项式,叫做n元二次型，当二次型的系数aij ( i, j=1,2, ,n)都是实数时, 称为实二次型.,一、二次型的定义,特别地, 只含有平方项的n元二次型称为n元二次型的标准形.,下页,练习：,下页,二次型的矩阵形式,令,下页,得,下页,下页,，其中,实对称矩阵称A为二次型系数矩阵, A的秩称为二次型的秩.,若二次型f是标准形,即其系数矩阵是对角矩阵.,下页,其中,其中,则 f 。</p><p>5、quadraticform,二次型,1,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,（我们仅讨论实二次型）,2,二、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,3,5.1二次型及其矩阵表示,注意,2.二次型与它的矩阵相互唯一确定，即,正因为如此，讨论二次型时矩。</p><p>6、第七章 二次型,第一节 二次型及化二次型为标准形,引入: 解析几何中二次曲线的一般方程为,若仅考虑二次项:,推广,n元二次齐次多项式函数,一、二次型的概念,当 是复数时， 称为复二次型；,当 是实数时， 称为实二次型.,本章只研究实二次型.,例如,都为二次型；,而,，则不是二次型.,二、二次型的矩阵表示方法,对二次型,若取 ，,则,若记,则二次型可记作：,其中 为一个对称矩阵.,在二次型的矩。</p><p>7、专题九：二次函数之定值问题 l 坐标为定值 例题1 ：抛物线yx2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C （1）如图1，若OB2OA2OC 求抛物线的解析式； 若M是第一象限抛物线上一点，若cosMAC，求M点坐标 （2）如图2，直线E Fx轴与抛物线相交于E、F两点，P为E F下方抛物线上一点，且P（m，2）若EPF90，则E F所在直线的纵坐标是否为定值，请说明理。</p><p>8、二次型化规范型篇一：化二次型为标准形的方法编号 XX011146 毕 业 论 文 （XX 届本科） 论文题目： 化二次型为标准形的方法 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 班 级：XX 级本科（1）班 作者姓名： 王 瑜 指导教师：完巧玲 职称： 副教授完成日期： XX 年 05 月 07 日 目 录 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 . 1 引言 .1 1 矩阵及二次型的相关概念 . 1 11 矩阵的相关概念 .1 12 二次型的相关概念 .2 2 化二次型为标准形的方法 . 3 21 配方法 . 3 22 初等变换法（合同变换法） .5 23 正交变换法 .6 2 4 雅可比法 . 8 。</p><p>9、二次型化为规范型篇一：化二次型为标准型的方法二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 ax2?2bxy?cy2?f. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度?，作转轴（反时针方 ?x?xcos?ysin? 向转轴） ? （2） ?y?xsin?ycos? 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量 的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在。</p><p>10、第七章 二次型与二次曲面二次型的定义定义：n个变量的二次齐次多项式称为n元二次型或二次形式。当系数取实数时，称为实二次型；取复数时，称为复二次型。例：例：令，且二次型可表示为，称A为二次型的矩阵。例：写出下列二次型对应的矩阵，假设A为实对称矩阵，且r(A)=n.矩阵的相合 设是n维线性空间V的两组基，这两组基的过渡矩阵为。</p><p>11、第五节二次型及其标准型,在解析几何中，为了便于研究二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的坐标变换：把方程化为标准形,(1)的左边是一个二次齐次多项式,为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们通过坐标变换，把方程化为只含平方项的标准方程（我们把它叫做标准型）。把二次齐次多项式化为只含平方项的标准方程不仅在几何问题中出现，而且在数学的其它分支及物理、力学、工程技术、经济管理、网络计算中有着广泛的应用。</p><p>12、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,2用矩阵表示,定义,合同矩阵有一下性质：,（1）自反性（2）对称性(3) 传递性,定理 设 是一个可逆矩阵,若 为对称矩阵,则 也为对称矩阵,且,三、矩阵的合同,1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆的线 性变换，就得到标准形;,2. 若二次型中不含有平方项，但是。</p><p>13、1 6 2二次型化为标准型 一 正交变换化二次型为标准形 二 拉格朗日配方法的具体步骤 Page2 一 正交变换化二次型为标准形 对于二次型 我们讨论的主要问题是 寻求可逆的线性变换 将二次型化为标准形 说明 Page3 Page4 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 Page5 解 1 写出对应的二次型矩阵 并求其特征值 例1 Page6 从而得特征值 2 求特征向量 3 将特征向量正交化 得。</p><p>14、向量的内积、长度及正交性,1,方阵的特征值与特征向量,2,3,对称矩阵的对角化,4,相似矩阵及二次型,二次型及其标准型,5,正定二次型,6,第五章相似矩阵及二次型,内容概要,第五章相似矩阵及二次型,二次型及其标准型,1.掌握二次型及其有关概念,掌握化二次型为标准型的两种方法正交变换法、配方法,5.5二次型及其标准型,引例,对于一般的二次曲线,，只要选取适当的坐标旋转变换,就可将曲线。</p><p>15、53 化二次型为规范型,引例：对二次形,若做线性变换：,可得标准型：,若做线性变换：,可得标准型：,对二次型,若r(A)=r,做线性变换非奇异 X=CY,得标准型,r ()=r(A)=r,r=k,标准型中含非零平方项的个数由r(A)确定,即：,对二次型,设r(A)=r,则存在线性变换非奇异 X=CY,再做非奇异线性变换：,唯一,再做非奇异线性变换:,例如:对,做非奇异线性变换。</p><p>16、5 3化二次型为规范型 引例 对二次形 若做线性变换 可得标准型 若做线性变换 可得标准型 对二次型 若r A r 做线性变换非奇异X CY 得标准型 r r A r r k 标准型中含非零平方项的个数由r A 确定 即 对二次型 设r A r 则存在线性变换非奇异X CY 再做非奇异线性变换 唯一 再做非奇异线性变换 例如 对 做非奇异线性变换 可得标准型 规范型 定理5 5任一个二次型 经过。</p>