对角化.

对角化.Tag内容描述：<p>1、3相似矩阵与矩阵的对角化,定理 5,由于对角句阵的特征值为对角线上的元素,所以由定理5得,推论,若n阶矩阵A与对角阵,定理 6,推论1 如果矩阵 A 的特征值都是单特征根，则 A 与对角矩阵相似 .,推论1,推论 2,例3 设矩阵,解,例4 设 A 是 3 阶矩阵且 I + A , 3IA ,I3A 均不可逆 .证明 ：,证,由前面的例题可知,并不是任何一个方阵都可对角化的,但是当方阵A为实对称矩。</p><p>2、第五章,矩阵对角化问题,1. 方阵对角化的概念,寻找相似变换矩阵 ，使,这就称为把方阵 对角化.,说明,如果能找到可逆矩阵 ，使 ，则 可对角化；,如果找不到这样可逆矩阵 ，则 不可对角化.,2. 定理的引入,设有可逆矩阵 ，使 为对角阵.,下面 回答 能否由 确定.,因而 由 和 确定，,也就是由 确定.,由于特征向量不是惟一的，所以矩阵 也不 是惟一确定的.,反过来，,是依次与之对应。</p><p>3、1,第5.2节 矩阵相似对角化,线性代数,2,主要内容,一、矩阵相似的概念,二、矩阵相似对角形,三、小结,四、思考与练习,3,一. 相似矩阵的概念,定义:,设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得,则称矩阵 是矩阵 的相似矩阵，,对 进行运算 称为对 进行相似变换，,可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的相似变换矩阵。,或称矩阵 与矩阵 相似，记作,注：1 矩阵相似是一种等价关系,（1）反身性：,（2）对称性：若 则,（3）传递性：若 则,4,分析: ,则存在可逆矩阵 ,使,2.若 与 相似, 则 与 相似( 为正整数).,3.若,则,其中 是任意常数.,分析:,5,定理1: 阶方阵。</p><p>4、5.2 矩阵的相似对角化,一、相似矩阵的基本概念与性质,1. 相似矩阵的概念,定义,对于 n 阶矩阵 A 和 B ，,则称 A 与 B 相似，,称对 A 所进行的运算 为对 A 进行相似变换。,称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵。,记为,若存在可逆的 n 阶方阵 P 使得,或者称 A 相似于 B，,一、相似矩阵的基本概念与性质,1. 相似矩阵的概念,2. 相似矩阵的性质,定理,若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征多项式,证明,因 A 与 B 相似，即存在可逆的矩阵 P 使得,即 A 与 B 有相同的特征多项式。,从而 A 与 B 有相同的特征值。,故,一、相似矩阵。</p><p>5、4 对称矩阵的对角化,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化,1、定理5对称矩阵的特征值为实数.,一、对称矩阵的性质,说明：本节所提到的对称矩阵，均指实对称矩阵,2、定理6,4、定理7,3、,利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化,解,例1 设实对称矩阵 求正交矩阵 P，使 为对角阵.,得基础解系,得基础解系,单位化，得,单位化，得,得基础解系,单位化，得,解。</p><p>6、定理1 ,(实)对称阵的特征值为实数.,定理2,设 l1, l2 是对称阵 A 的两个不同特征值, p1, p2 是 对应的特征向量, 则 p1 与 p2 正交.,证明,由,得,于是,因此,即 p1 与 p2 正交.,4.2 对称矩阵的相似对角化,定理3 ,设 A 为对称阵, 则必存在正交阵 P, 使,其中 L 为对角阵, 以 A 的特征值为对角元素.,用正交的相似变换矩阵化对称阵为对角阵的算法。</p><p>7、1,11.7 矩阵的特征值 化矩阵为对角形矩阵,特征值与特征向量,化矩阵为对角形,2,工程中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题；而数学中诸如方阵的对角化，求线性变换的不变元素等问题也需要特征值和特征向量的概念,而矩阵的对角化涉及到如何把一个二次型化成对角形，进一步化成标准形的问题，解析几何中的提法是：对二次曲线和二次曲面的一般方程通过一个坐标变换化成标准方程,3,说明,一、特征值与特征向量,而且若x是特征向量，则乘以非零常数后仍是,4,按代数基本定理，知对n阶方阵恰有n个特。</p><p>8、,1,第三节矩阵的对角化,一矩阵的对角化的概念二矩阵的对角化判别与计算,.,2,一矩阵的对角化的概念,若n阶方阵A与对角阵,相似，则称A可对角化,若A可对角化，则Am就比较容易计算了,问题：,如何判别一个方阵是否可对角化？若,能够对角化，如何找可逆矩阵P？,定义：,.,3,二.矩阵可对角化的判别与计算,A可对角化A,存在可逆矩阵,使得,A有n个线性无关的特征向量,.,4,由上。</p><p>9、摘 要 矩阵的对角化指的是矩阵与对角矩阵相似，而形式最简单的对角矩阵在矩阵理论中占有重要地位，因此研究矩阵的对角化问题是很有实用价值的矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。目前对于矩阵可对角化的条件，矩阵对角化的方法和矩阵对角化的运用都有了较为全面和深入的研究。在归纳总结前人的基础之上，先给出了与对角化相关的概念，其。</p><p>10、第五章 矩阵对角化问题 1 1 方阵对角化的概念 寻找相似变换矩阵 使 这就称为把方阵对角化 说明 如果能找到可逆矩阵 使 则可对角化 如果找不到这样可逆矩阵 则不可对角化 2 2 定理的引入 设有可逆矩阵 使为对角阵 下。</p><p>11、矩阵对角化方法 姓名：唐巧文 学号：200725020431 指导老师：刘俊同 摘要：本文给出了一种不同于传统方法的矩阵对角化方法，利用矩阵的初等变换，先求出矩阵的特征根与特征向量，接着再判断矩阵是否可对角化。 关键词：矩阵 特征根 特征向量 对角化 The Methods of the Diagonalization of the Matrix Name: Tang Qiaowen。</p><p>12、第五章 矩阵对角化问题 1 方阵对角化的概念 寻找相似变换矩阵 使 这就称为把方阵对角化 说明 如果能找到可逆矩阵 使 则可对角化 如果找不到这样可逆矩阵 则不可对角化 2 定理的引入 设有可逆矩阵 使为对角阵 下面回答能否由确定 因而由和确定 也就是由确定 由于特征向量不是惟一的 所以矩阵也不是惟一确定的 反过来 是依次与之对应的特征向量 则 设矩阵的个特征值为 当可逆 即线性无关时 有 这表明。</p><p>13、第三节实对称矩阵的对角化 定义 把矩阵A的各元素用其共轭复数代换所得 的矩阵成为A的共轭矩阵 记作 如 注 实矩阵的共轭矩阵是它本身 定理 实对称矩阵的特征值全是实数 定理 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是 正交的 正交 定理 n阶实对称阵A有n个线性无关的特征向量 定理 对n阶实对称阵A 存在n阶正交矩阵T 使得 为对角矩阵 正交向量 设n维向量 若 则称向量 正交或垂直 记作 正交矩阵 若n。</p>