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文档简介

1、第五章,矩阵对角化问题,1. 方阵对角化的概念,寻找相似变换矩阵 ，使,这就称为把方阵 对角化.,说明,如果能找到可逆矩阵 ，使 ，则 可对角化；,如果找不到这样可逆矩阵 ，则 不可对角化.,2. 定理的引入,设有可逆矩阵 ，使 为对角阵.,下面 回答 能否由 确定.,因而 由 和 确定，,也就是由 确定.,由于特征向量不是惟一的，所以矩阵 也不 是惟一确定的.,反过来，,是依次与之对应的特征向量，则,设矩阵 的 个特征值为 ，,当 可逆，即 线性无关时，有,这表明方阵 能否对角化完全可用 的特征值和 特征向量来刻画.,由定理证明可知,如果矩阵A相似于对角矩阵, 设,则矩阵P的列是A的线性无关

2、的特征向量,对角矩阵的对角元素是P中列向量对应的矩阵A的特征值.,若 则 的主对角元素即为 的特征值，,3. 方阵可对角化的充要条件,定理4 阶矩阵 与对角阵相似(即 能对角化),的充要条件是 有 个线性无关的特征向量.,推论,若 阶矩阵 的 个特征值互不相等，则 与对角阵相似.(逆命题不一定成立）,说明,当 的特征方程有重根时，不一定有 个线性无 关的特征向量，从而不一定能对角化；,但是，有重根时，也有可能能对角化. 所以,特征值互不相等只是 与对角阵相似的充分条件.,下述定理可将关于可对角化条件更精细地刻画出来.,例 判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解:,得,得基础解系,当 时，齐次线性方

3、程组为,当 时，齐次线性方程组为,得基础解系,线性无关,即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。,得基础解系,所以 不能化为对角矩阵.,当 时，齐次线性方程组为,例 设,问 为何值时，矩阵能对角化？,解: 析：此例是定理的应用.,定理表明：,阶矩阵 可对角化,有 个线性无关特征向量.,由此可推得另一个充要条件：,对 的每个不同的特征值 ， 的重数,=对应于 的线性无关特征向量的个数,所以的特征值为 1(二重)， .,对应于单根 ，可求得线性无关的特征向量1个；,对应于二重特征值 1，若 能对角化，则,要使 ，则,即,说明,解答此题的关键是将 取值条件“ 可对角化” 转化为“二重特征值 1 应满足 ”， 从而求得.,矩阵 能否对角化，取决于它的线性无关特征 向量的个数，而与 的秩， 的行列式都无关.,四.矩阵对角化的实现的步骤:若矩阵A可以对角化,(3)用(2)中求

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