二次型的规范形

二次型的规范形Tag内容描述：<p>1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 所谓方阵 可以对角化 , 是指与对角阵相似 . 即存在可逆矩阵使 成立. 1. 可对角化矩阵的性质 即存在可逆矩阵 使 成立，那么： 若与对角阵相似 , 即是A的 n个特征值;而P的第i列 是 的对应于特征值 的特征向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 说明 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似 推论 如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 能对角化 2. 矩阵可对。</p><p>2、fengyuanbipt.edu.cn 对实对称矩阵A，求正交矩阵P使得P-1AP 为对角阵的具体步骤为： 将线性无关的特征向量正交化; 3. 将正交的特征向量单位化;4. 2. 1. 5. 以它们为列向量构成P，则P为正交矩阵，且 施密特正交化 方法（P114） 对称矩阵对应于不同特征值 的特征向量正交。 只需将同一个 特征值的特征 向量正交化 P的列向量是两两正 交的单位向量 P-1=PT fengyuanbipt.edu.cn fengyuanbipt.edu.cn 一、二次型及其标准形的概念 称为二次型. 1. 二次型 fengyuanbipt.edu.cn 一、二次型及其标准形的概念 例如, 都为实二次型. 1. 二次型 没有平。</p><p>3、6.1 6.1 实二次型及其标准形实二次型及其标准形 一、二次型及其矩阵一、二次型及其矩阵 二、合同变换二、合同变换 三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形 四、用正交变换化二次型为标准形四、用正交变换化二次型为标准形 一、二次型及其矩阵 称为 n 元二次型. 若aij 为实数，则称为实二次型. 若aij 为复数，则称为复二次型. 则 f (x1, , xn) = X TAX. A: 二次型 f (x1, , xn) 的矩阵. 例1 f (x1, x2 , x3) = 2x12 3x22 + 4x32 - 2 x1x2 + 3x2 x3 A: f (x1, x2 , x3) 的矩阵 若令 则有 f (x1, x2 , x3) = XTBX 但 BT B。</p><p>4、辽 东 学 院 教 案 纸课程：高等代数 第5.3.4页3 C、R上二次型的规范形教学目的 通过讲授，使学生理解C、R上二次型规范形的概念，基本掌握实二次型的惯性定理教学内容上节已经指出，数域F上的n元二次型的标准形未必唯一因此，探索二次型的唯一简化形式是二次型研究的重要课题本节讨论复数域、实数域上二次型简化的唯一性问题3.1 复二次型的规范形设是一个复系数的二次型由定理5.2.1，经过一适当的非退化线性替换后，变成标准形 (1)其中r是的秩由于复数总可以开平方，因而再作一非退化线性替换， (2)(1)就变成 (3)(3)称为复二次型的规范形。</p><p>5、第二节 二次型的规范形,1讨论了任意一个二次型经过满秩线性变换可化为标准形, 且标准形不唯一. 即任意一个对称矩阵可用合同变换化为对角形矩阵, 并且对角元不唯一. 而对角形矩阵的秩等于它的对角线上不为零元素的个数r. 再者合同变换是保秩变换, 因此原对称矩阵的秩也是r.,这样, 在一个二次型的标准形中系数不为零的平方项的个数是唯一确定的, 与所进行的满秩线性变换无关.,本节分别在复数域和实数域中进一步讨论标准形的唯一性问题.,一 复数域,设f (x1, x2, , xn)是复数域上的二次型, 经过满秩变换化为标准形,其中r是二次型 f 的秩, rn.,。</p>