次课——二次型及其标准形的化简上传教案.ppt

对实对称矩阵A，求正交矩阵P使得P-1AP 为对角阵的具体步骤为： 将线性无关的特征向量正交化; 3. 将正交的特征向量单位化;4. 2. 1. 5. 以它们为列向量构成P，则P为正交矩阵，且 施密特正交化 方法（P114） 对称矩阵对应于不同特征值 的特征向量正交。 只需将同一个 特征值的特征 向量正交化 P的列向量是两两正 交的单位向量 P-1=PT 一、二次型及其标准形的概念 称为二次型. 1. 二次型 一、二次型及其标准形的概念 例如, 都为实二次型. 1. 二次型 没有平方项 只有平方项 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形（或法式） 为二次型的标准形. 例如 一、二次型及其标准形的概念 2. 标准形 二、二次型的矩阵表示 实对称矩阵 二次型 的矩阵 二次型与对称矩阵之间存在一一 对应的关系 二次型的 矩阵形式 解: 例 二、二次型的矩阵表示 练习题： 与例1比较，题目 要求不同 例2 写出矩阵 对应的二次型. 对角形矩阵对应二次型的标准形. 解: 二、二次型的矩阵表示 三、化二次型为标准形 主要问题是： 寻求可逆的变换，将二次型化为标准形 二次型的 标准形 一般 二次型 实对称 矩阵 对角形 矩阵 合同变换 实对称矩阵对角形矩阵 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤： 三、化二次型为标准形 系数为 特征值 与对角形 矩阵对应 解: 1写出对应的二次型矩阵 例3 三、化二次型为标准形 解: 例3 2. 求二次型矩阵特征值 三、化二次型为标准形 从而得特征值 3求特征向量 三、化二次型为标准形 4将特征向量正交化 得正交向量组 三、化二次型为标准形 施密特正交化方 法（P114） 5将正交向量单位化，得正交矩阵P 三、化二次型为标准形 则利用正交变换 x = Py，即 三、化二次型为标准形 系数为特征值 二次型的标准形是否唯一？ 三、化二次型为标准形 化二次型为标准形的方法还有 配方法和合同变换法，不同的方法 会得到不同的标准形。 不同的标准形中系数不为0的平方项 的项数是唯一确定的，系数为正的平 方项的个数也是唯一确定的。 （P132 定理9 惯性定理） 二次型的秩 二次型对应 的矩阵的秩 P,D=eig(A) P = 0 0 1 -985/1393 985/1393 0 985/1393 985/1393 0 D = 2 0 0 0 4 0 0 0 4 求正交变换化二次型为标准形，并写出标准形的形式。 例， 已知二次型f(x1, x2, x3)的矩阵为A, 若在 MATLAB软件中，有如下结果： 为正定二次型. 为负定二次型. 四、二次型的正定性 例如, 既不是正定二次型， 也不是负定二次型. 矩阵的正（负）定 与二次型的正（负）定 一致 推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正 定理 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶主子式为正，即 四、二次型的正定性 例1 判别二次型 是否正定. 解： 它的主子式 故上述二次型是正定的. 四、二次型的正定性 定理 对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇 数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即 推论 对称矩阵 为负定的充分必要条件是： 的特征值全为负 四、二次型的正定性 例2 判别二次型 的正定性. 解 : 四、二次型的正定性 变量的形式不同 练习题：练习题： 参考答案： 2. 二次型的矩阵和二次型的秩 五、小结五、小结 3. 利用正交变换将二次型化为标准形 1. 二次型的矩阵形式和一般形式之间的转换 4. 二次型正定性的判定 5. 实二次型的化简问题，在理论和实际中经 常遇到，通过在二次型和