二次型及其标准形

二次型及其标准形Tag内容描述：<p>1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 所谓方阵 可以对角化 , 是指与对角阵相似 . 即存在可逆矩阵使 成立. 1. 可对角化矩阵的性质 即存在可逆矩阵 使 成立，那么： 若与对角阵相似 , 即是A的 n个特征值;而P的第i列 是 的对应于特征值 的特征向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 说明 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似 推论 如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 能对角化 2. 矩阵可对。</p><p>2、fengyuanbipt.edu.cn 对实对称矩阵A，求正交矩阵P使得P-1AP 为对角阵的具体步骤为： 将线性无关的特征向量正交化; 3. 将正交的特征向量单位化;4. 2. 1. 5. 以它们为列向量构成P，则P为正交矩阵，且 施密特正交化 方法（P114） 对称矩阵对应于不同特征值 的特征向量正交。 只需将同一个 特征值的特征 向量正交化 P的列向量是两两正 交的单位向量 P-1=PT fengyuanbipt.edu.cn fengyuanbipt.edu.cn 一、二次型及其标准形的概念 称为二次型. 1. 二次型 fengyuanbipt.edu.cn 一、二次型及其标准形的概念 例如, 都为实二次型. 1. 二次型 没有平。</p><p>3、6.1 6.1 实二次型及其标准形实二次型及其标准形 一、二次型及其矩阵一、二次型及其矩阵 二、合同变换二、合同变换 三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形 四、用正交变换化二次型为标准形四、用正交变换化二次型为标准形 一、二次型及其矩阵 称为 n 元二次型. 若aij 为实数，则称为实二次型. 若aij 为复数，则称为复二次型. 则 f (x1, , xn) = X TAX. A: 二次型 f (x1, , xn) 的矩阵. 例1 f (x1, x2 , x3) = 2x12 3x22 + 4x32 - 2 x1x2 + 3x2 x3 A: f (x1, x2 , x3) 的矩阵 若令 则有 f (x1, x2 , x3) = XTBX 但 BT B。</p><p>4、Ch 5 二次型,掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念及惯性定理 熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，并会用配方法化二次型为标准形 了解二次型的分类，熟练掌握二次型及其对应矩阵的正定性与判别法,问题的提出：在平面解析几何中讨论的有心二次曲线，若中心与坐标原点重合，则一般方程是,上式的左端就是x，y的一个二次齐次多项式 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们通过坐标变换，把方程化为只含平方项没有乘积项的标准方程， 在空间解析几何中二次曲面的研究也有类似的问题 把二。</p><p>5、5.2 二次型及其标准形,一、二次型的矩阵表示,1、二次型,定义1 . n个变量 的二次齐次函数,2、 二次型的矩阵表示法,令,其中,A是一个n阶对称矩阵,称为二次型的矩阵表达形式,A称为二次型的矩阵，A的秩称为二次型的秩.,说明：,（1）二次型的矩阵都是对称矩阵；,（2）二次型和它的矩阵是相互唯一决定的（一一对应）；,写出它的矩阵表达式。,例1：,解：,例2,解,0,2,0,注,1、变量的线性变换,定义5.2,关系式,令,则线性变换的矩阵形式为,x = Cy,二.二次型的标准形.,说明,为满秩（或可逆）的线性变换，此时,（1）如果系数矩阵C可逆，即|C|0，则称线性。</p><p>6、5 二次型及其标准形,一、二次型及其标准形的概念,二、二次型的表示方法,三、合同矩阵,四、化二次型为标准形,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,例如,都为二次型 .,例如,为二次型的标准形.,称为二次型的规范形 ,例如,为二次型的规范形.,1用和号表示,对二次型,二、二次型的表示方法,2用矩阵表示,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,二次型的矩阵及秩,解,例2,三、合同矩阵,四、化二次型为标准形,对于。</p><p>7、第六章,二次型及其标准型,6.3 正定二次型与正定矩阵,6.2 化二次型为标准型,6.1 二次型及其矩阵表示,6.1 二次型及其标准形,引言,判别下面方程的几何图形是什么？,作旋转变换,代入(1)左边，化为：,见下图,称为n维(或n元)的二次型.,定义,含有n个变量 的二次齐次函数,关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行！,例如：,都是二次型。,不是二次型。,取,则,则（1）式可以表示为,二次型用和号表示,令,则,其中 为对称矩阵。,二次型的矩阵表示（重点）,注,1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。,2、其对角线上的元素,恰好是,的系数。,3、,的系数的一。</p><p>8、2008年年10月月18日星期六日星期六 数学科学学院数学科学学院徐鑫徐鑫 ()() nnnn nnnn xxaxxaxxa xaxaxaxxxf 1, 131132112 22 222 2 11121 222 , + + + + += = ? ? 称为二次型.称为二次型. 的二次齐次函数个变量含有定义的二次齐次函数个变量含有定义 n xxxn, 1 21 ? ; , 称为是复数时当称为是复数时当faij复二次型复二次型 . , 称为是实数时当称为是实数时当faij实二次型实二次型 1 二次型及其标准形1 二次型及其标准形 2008年年10月月18日星期六日星期六 数学科学学院数学科学学院徐鑫徐鑫 只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型 22。</p>