二次型及其标准型课件

Ch 5 二次型,掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念及惯性定理 熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，并会用配方法化二次型为标准形 了解二次型的分类，熟练掌握二次型及其对应矩阵的正定性与判别法,问题的提出：在平面解析几何中讨论的有心二次曲线，若中心与坐标原点重合，则一般方程是,上式的左端就是x，y的一个二次齐次多项式 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们通过坐标变换，把方程化为只含平方项没有乘积项的标准方程， 在空间解析几何中二次曲面的研究也有类似的问题 把二次齐次多项式化为只含平方项的标准方程不仅在几何问题中出现，而且在数学的其他分支以及物理、力学、工程技术、经济管理、网络计算中有着广泛的应用,二次型的概念,正交变换法化上面方程为熟知形式,平面上任一点A的新旧坐标关系为,若将坐标系逆时针旋转450，得新坐标系,（1）,将上面关系式代入方程（1），得到在新坐标系下的方程形式,可见二次方程（1）所表示的曲线是椭圆,它的左边是一个二次齐次多项式，通过变量的坐标变换化简为只含有平方项的二次齐次多项式，我们叫它标准形.,另一方面，（1）的左边用矩阵表示为,（2）,坐标变换关系用矩阵表示为,或,（3）,将(3)代入（2）也有,1. 二次齐次多项式可以写成矩阵形式，其矩阵的主对角元恰是平方项系数，关于主对角线的对称元恰是交叉项的系数的一半；,2. 通过一正交变换就将二次齐次多项式化简成只含有平方项的标准形.,启 示,二次型（quadratic form ）的定义,定义2：,若线性变换,的矩阵,可逆，则称线性变换为可逆 线性变换；,正交，则称线性变换为正交 变换。,定义3：,只含平方项的二次型，即形如,称为二次型的标准形（或法式）。,二次型的矩阵表示法：,二次型的矩阵表示式,任给一个二次型，就惟一地确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型,二次型的矩阵 （显然这是实 对称阵）,这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,设二次型,定义：,则称对称矩阵 A的秩为二次型 f 的秩.,对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵，也把 f 叫做对称矩阵A的二次型,二次型经可逆变换后的矩阵：,由上讨论可得：,例 已知下面二次型的秩为2，求参数c,二次型 的矩阵为,定理1,正交变换化二次型为标准形：,问题1：标准形的矩阵 = ？,将二次型化为标准形实际上是什么问题？,问题3：,二次型能否化为标准形？,能！因为任意实对称阵都与对角阵正交合同。,问题2：,定理2,.,将二次型化为标准形的一般步骤：,(i) 写出二次型的矩阵 A；,例 求一个正交变换x =Qy，化二次型为标准形,解 二次型的矩阵,，,特征多项式, A的特征值,当 时，解方程组 ，由,得基础解系,单位化即得,.,当 时，解方程组 ，由,得基础解系,正交化,单位化,，,正交变换,，,标准形,.,已知二次型 经过正交变换化成了标准形 求 的值和正交矩阵Q,例,的矩阵A及标准形的矩阵 分别为,由题设条件，有,由于A相似于对角矩阵 ，故A的特征值为,将 代入特征方程 ,得,由于正交变换有保持几何形状不变等许多优良性质， 所以用正交变换化二次型为标准形是一种常用的方法,为椭圆 柱面。,用配方法化二次型为标准形的方法,用配方法化下列二次型为标准形，并求所用的可逆线性变换,解：因为 中只有混合项，没有平方项，故要先作一个辅助变换 使其出现平方项，然后按例1的方式进行配方,则原二次型化为,则原二次型化为标准形,所用的可逆线性变换为,注：配方法化二次型为标准形不同