二阶微分方程

二阶微分方程Tag内容描述：<p>1、第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程y+py+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p、q均为常数. 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y=C1y1+C2y2就是它的通解. 我们看看, 能否适当选取r, 使y=erx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y=erx代入方程y+py+qy=0得(r 2+pr+q)erx =0. 由此。</p><p>2、一阶微分方程的解法及应用 习题课 一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 第七章(1) 三、课外练习题 * * 1 1 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 变量代换法 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 几个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程 P315 题7 DateDate 2 2 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 例1 求下列方程的通解 提示: (1)故为分离变量方程: 通解 DateDate 3 。</p><p>3、高阶微分方程,应用习题课,第七章 微分方程,二、二阶微分方程的实际应用,一、两类高阶微分方程的解法,1. 可降阶微分方程的解法,2. 二阶线性微分方程的解法,一、两类高阶微分方程的解法,1. 可降阶微分方程的解法 降阶法,令,令,逐次积分求解,2. 二阶线性微分方程的解法,常系数齐次情形, 代数法,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,2. 二阶线性微分方程的解法,常系数非齐次情形, 代数法,为常数,其中 为实数 ,为 m 次多项式 .,1）,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,将此式代入原方程比较系数即可确定该特解.,2. 。</p><p>4、二阶微分方程的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,习题课 (二),二、微分方程的应用,解法及应用,一、两类二阶微分方程的解法,第七章,一、两类二阶微分方程的解法,1. 可降阶微分方程的解法 降阶法,令,令,逐次积分求解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,练习题: P353 题 2 ; 3 (6) , (7) ; 4(2)； 8,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解答提示,P353 题2 求以,为通解的微分方程 .,提示: 由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,P353 题3 求下列微分方程的通解,提示: (6) 。</p><p>5、1,第八节 常系数非齐次 线性微分方程,小结 思考题 作业,非齐次,第十二章 微分方程,2,方程,对应齐次方程,通解结构,难点,方法,二阶,常系数,非齐次,线性,如何求非齐次方程特解？,待定系数法.,3,设非齐方程特解为,求导代入原方程,4,综上讨论,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性,微分方程(k是重根次数).,不是根,是单根,是重根,5,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例,(1) 求对应齐次方程的通解,(2) 求非齐次方程的特解,此题,其中,?,6,代入方程, 得,原方程通解为,7,练习,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,(1) 求对应齐次方程的通解,此。</p><p>6、重点：可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微分方程的定义和解法，由微积分知识引出。 难点：正确求解可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微分方程的通解或特解，由实例讲解方法。,总时数：6学时.,1、知道二阶微分方程的概念； 2、会求可降阶的二阶微分方程、二阶常系数线性齐次和非齐次微分方程的通解或特解。,【学习目标】,【授课时数】,【重、难点】,一、可降阶的二阶微分方程,解,方程的特点：方程右端不显含未知函数y.,方程的解法：,则,将它们,代入方程得,令,解,代入原方程得,原方程通解为,例 3,例 4 设有一均匀、柔软的绳索，两。</p><p>7、二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,自由项为,二阶常系数非齐次线性微分方程,一、 型,设非齐方程特解为,代入原方程,综上讨论,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,特别地,例1,解,特征方程,特征根,对应齐次方程通解,代入方程, 得,原方程通解为,求通解,解,特征方程,特征根,齐通解,即,代入（*）式,非齐通解为,例2,分别是,的实部和虚部,可设,辅助方程,由分解定理,分别是以,为自由项的非齐次线性微分方程的特解,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐。</p><p>8、二阶微分方程的,习题课 (二),二、微分方程的应用,解法及应用,一、两类二阶微分方程的解法,第十二章,一、两类二阶微分方程的解法,1. 可降阶微分方程的解法 降阶法,令,令,逐次积分求解,2. 二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,欧拉方程,练习题: P327 题 2 ; 3 (6) , (7) ; 4(2)； 8,解答提示,P327 题2 求以,为通解的微分方程 .,提示: 由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,P327 题3 求下列微分方程的通解,提示: (6) 令,则方程变为,特征根:,齐次方程通解:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,思 考,若 (7。</p><p>9、二阶微分方程的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,习题课 (二),二、微分方程的应用,解法及应用,一、两类二阶微分方程的解法,第十二章,一、两类二阶微分方程的解法,1. 可降阶微分方程的解法 降阶法,令,令,逐次积分求解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,欧拉方程,练习题: P327 题 2 ; 3 (6) , (7) ; 4(2)； 8,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解答提示,P327 题2 求以,为通解的微分方程 .,提示: 由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,P327 题3 求下列微分方程的通解。</p><p>10、1,5.3 二阶微分方程,主要内容 1.可降阶的二阶微分方程 2.二阶常系数线性微分方程,2,一、可降阶的二阶微分方程,这类二阶微分方程的特点是，经过适当的变换将二阶微分方程化为一阶微分方程，然后用前一节介绍的方法来求解,下面介绍三种可降阶的二阶微分方程的解法.,3,就得到一个一阶微分方程，即,两边再积分，即连续积分两次就能得到方程（1）的通解,只要连续积分n次，即可得到含有n个任意常数的通解,两边积分，得,4,例1,解,对所给的方程连续积分三次，得,这就是所求方程的通解,5,因而方程(3)就变为,这是一个关于变量 x , p 的一阶微分方程。</p><p>11、10.4 可降阶的二阶微分方程,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型的微分方程,例1.,解:,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分, 得原方程的通解,二、,例2. 求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分, 得原方程的通解,例3. 求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,例4. 解初值问题,解: 令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分。</p><p>12、可降阶的二阶微分方程,第六节,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型的微分方程,例1.,解:,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分, 得原方程的通解,二、,例. 求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,例.,绳索仅受,重力作用而下垂,解: 取坐标系如图.,考察最低点 A 到,( : 密度, s :弧长),弧段重力大小,按静力平衡条件, 有,故有,设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定,问该。</p><p>13、一阶微分方程习题课,一、一阶微分方程求解,1. 一阶标准类型方程求解,关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤,2. 一阶非标准类型方程求解,(1) 变量代换法 代换自变量,代换因变量,代换某组合式,(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程,四个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,一阶线性线性方程,全微分方程,例1. 求下列方程的通解,提示: (1),故为分离变量方程:,通解,方程两边同除以 x 即为齐次方程 ,令 y = u x ,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位 ,用线性方程通解公式求解 .,化为,方法 1 这是一个齐次方程 .,方法 2 化为微分形式,。</p><p>14、二阶微分方程,习题课,二阶常系数线性微分方程的一般形式为 ay+by+cy=f(x) a,b,c都是实系数，a0,f(x)是x的函数 当f(x)0 为二阶常系数线性齐次微分方程 当f(x)0 为二阶常系数线性非齐次微分方程,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y+a1(x)y+a2(x)y=f(x) (2),一、 型,特别地,由分解定理,分别是以,为自由项的非齐次线性微分方程的特解,解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且 f (x)2ex 是 Pm(x)ex型(其中Pm(x)2，1)。,原方程对应的齐次方程为 ，其通解为,由于1是特征方程 r23r20的单根，因此设原方程的一个 特解为 y* = axex ，代入。</p><p>15、Introduction to Second Order ODEs Section 3 1 in Boyce and DiPrima Wenhan Wang Department of Mathematics University of Washington 10 15 2012 Wenhan Wang Department of Mathematics University of Washing。</p><p>16、二阶微分方程论文 一类二阶微分方程解的平方可积性和有界性 中文摘要 钱学森教授和宋健教授曾经指出能够用直接 找出简单而方便的方法来解决含变量的线性微分方程的解问题是一件很棘手的事情 因为线性微分方程可以广。</p>