二重积分的应用

二重积分的应用Tag内容描述：<p>1、一、重积分的几何应用 二、二重积分的元素法 三、空间曲面的面积 四、小结,第四节 重积分的应用（几何应用）,一、重积分的几何应用,(1)平面图形的面积: (2)空间立体的体积: (3)空间曲面的面积:,例1,解（一）利用二重积分来计算,解（二）利用三重积分来计算,例1,解,1 画的草图,3 由对称性，得,例2,D1,1.,练习题,解,1.,练习题,解,把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.,二、二重积分的元素法,假设要计算的量U 关于闭区域D具有可加性.,预备知识：,A,用两组直线分割A（其中一组平行于两平面 的交线）为n个小矩形，,1. 设曲面S的方程为：,如。</p><p>2、1 -,第四节 重积分的应用,曲面的面积 物理应用,- 2 -,1. 能用重积分解决的实际问题的特点,所求量是,对区域具有可加性,从定积分定义出发 建立积分式,用微元分析法 (元素法),分布在有界闭域上的整体量,3. 解题要点,画出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出积分限、计算要简便,2. 用重积分解决问题的方法,- 3 -,已经学过的利用重积分解决的问题,1 平面区域,的面积,2 曲顶柱体的体积,3 平面薄片,的质量,4 空间物体,的体积,5 空间物体,的质量,- 4 -,例1 求物体,的体积。,解,在球坐标系下空间立体,所占区域为,则立体体积为,- 5 -,一 曲面面积。</p><p>3、一、平面方程,三、曲面面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲面面积的计算,二、曲面的切平面与法线,（一）平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称上式为平面的点法式方程,则该平面的方程为：,法向量.,量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、平面方程,过三点,的平面方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（二）平面的三点式方程,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程.,时,平面方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（三）平面的截距式方程,（四）平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减 , 得。</p><p>4、交线投影,一、空间立体的体积,求两个圆柱面,所,围的立体在第一卦限部分的体积。,解:,所求立体可以看成是一个曲顶柱，它的曲顶为,它的底为,于是，立体体积为,二、曲面的面积,D,例3.计算双曲抛物面,被柱面,所,解: 曲面在 xoy 面上投影为,则,截出的面积 A .,Good,Bye,空间曲面方程形为:,曲面在M 处的法向(指向上侧)可取为。</p><p>5、第四节 重积分的应用,第九章,一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答,一、主要内容,(一)几何应用 立体体积的计算 曲顶柱体的体积 由二重积分的几何意义知，以曲面z f ( x, y)为顶， 以xOy面上的闭区域D为底的曲顶柱体的体积为 V f ( x, y)d. D 空间立体的体积 占有空间有界域 的立体的体积为 V dv. ,2. 曲面的面积,设光滑曲面S : z f (x, y) , (x, y) Dxy,A 1 fx 2( x, y) f y2( x, y) d , Dxy,d x d y.,A 1 ( z )2 ( z )2 x y Dxy,即,d A 1 fx 2( x, y) f y2( x, y) d , 称为面积元素 故有曲面面积公式,Dyz,1 ( x )2 (。</p><p>6、9.3 二重积分的应用 定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件： 1、所要计算的某个量对于闭区域具有可加性(即:当闭区域分成许多小闭区域时, 所求量相应地分成许多部分量,且)。 2、在内任取一。</p><p>7、第四节 重积分的应用 一 曲面的面积 二 重心 三 转动惯量 四 引力 一 曲面的面积 1 设曲面S的方程为 求S的面积 将D划分成若干小区域 曲面S的面积元素 曲面面积公式为 设曲面的方程为 曲面面积公式为 设曲面的方程为。</p><p>8、问题的提出问题的提出 二重积分在几何上的应用二重积分在几何上的应用 曲面的面积曲面的面积 二重积分在力学中的应用二重积分在力学中的应用 求重心求重心 转动惯量 转动惯量 引力 引力 定积分 积分元素 定积分的元素法元素法 定积分 积分元素 定积分的元素法元素法 b a dU dU 2 1 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中 一 问题的提出一 问题的提出。</p><p>9、6.3二重积分的应用,曲面的面积,6.3二重积分的应用,曲面的面积,设曲面S由方程,给出，D为曲面S在xoy面上的,投影区域，函数,在D上具有连续偏导数,，现计算曲面S的,和,面积A.,6.3二重积分的应用,设曲面的方程为：,如图，,6.3二重积分的应用,曲面S的面积元素,曲面面积公式,6.3二重积分的应用,解,6.3二重积分的应用,曲面面积的计算公式：,曲面的面积,6.3二重积分的应用,内容。</p><p>10、一、问题的提出,把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.,若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分量可近似地表示为 的形式，其中 在 内这个 称为所求量U的元素，记为 ，所求量的积分表达式为,二、曲面的面积,设曲面的方程为：,如图。</p><p>11、第四节 二重积分的应用,1,一、平面薄片的质量 二、曲顶柱体的体积 三、平面薄片的转动惯量,一、平面薄片的质量,从二重积分的概念可知道，平面薄片的质量是其密度函数 在薄片所占区域 上的二重积分：,例1.设平面薄片所占的闭区域D由直线,，求该薄片的质量.,解:,轴所围成，它的面密度,二、曲顶柱体的体积,所围成的闭区域为底，,例2.计算以xoy面上的圆周,解:,为顶的曲顶柱体的体积.,而以曲面为。</p>