复变函数与积分

复变函数与积分Tag内容描述：<p>1、复变函数与积分变换作业参考答案习题1：4、计算下列各式(1) ； (3) ；(5) ，求，； (7) 。解：(1) ；(3) ；(5) ，(7) 因为，所以，即时，；时，；时，；时，；时，；时，习题2：3、下列函数在何处可导？何处解析？在可导点求出其导数(2) ； (4) (6) 。解：(2) 因为，这四个一阶偏导数都连续，故和处处可微，但柯西-黎曼方程仅在上成立，所以只在直线上可导，此时，但复平面上处处不解析(4) 因为，这四个一阶偏导数都连续，故和处处可微，且满足柯西-黎曼方程，所以在复平面内解析，并且(6) 所以，在除外处处解析，且4、指出下列函数的奇点。</p><p>2、2 一、重点与难点 重点： 难点： 1. 复积分的基本定理； 2. 柯西积分公式与高阶导数公式 复合闭路定理与复积分的计算 3 二、内容提要 有向曲线复积分 积分存在的 条件及计算 积分的性质柯西积分定理 原函数 的定义 复合闭路 定 理 柯西积分 公 式 高阶导数公式 调和函数和 共轭调和函数 4 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑) 曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作 为正方向(或正向), 那末我们就把C理解为带 有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A到B作为曲线C的正向, 那么B到A就是曲线C的负向, 1.有向曲线 5 2.积分的定义 6 ( 7 3.积。</p><p>3、第四节 原函数与不定积分 一、主要定理和定义 二、典型例题 三、小结与思考 1 一、主要定理和定义 定理一 由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和 终点有关, (如下页图) 1. 两个主要定理: 2 3 定理二 证利用导数的定义来证. 4 由于积分与路线无关, 5 6 由积分的估值性质, 7 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导 定理完全类似. 证毕 8 2. 原函数的定义: 原函数之间的关系: 证 9 那末它就有无穷多个原函数, 根据以上讨论可知: 证毕 10 3. 不定积分的定义: 定理三(类似于牛顿-莱布尼兹公式) 11 证 根据柯西-古萨基本定理, 。</p><p>4、一、填空（每题3分，共24分）1的实部是______，虚部是________，辐角主值是______. 2满足的点集所形成的平面图形为_______________，该图形是否为区域___. 3在处可展成Taylor级数与在处解析是否等价？____. 4的值为________________________________________________；主值为____________________________________________________.5积分的值为________，________. 6函数在处Taylor展开式的收敛半径是________. 7设, 则________________，其中定义为________________ . 8函数的有限孤立奇点___，是何种类型的奇点？________.得分评卷人二。</p><p>5、1.2 复数的几种表示,一、复数的几何表示,1. 复平面,此时，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴。,用坐标为 的点来,表示复数,从而将全体复数和平面上的全部点,一一对应起来，,z 平面。,引进复平面后，复数 z 与点 z 以及向量 z 视为同一个概念。,在复平面上，从原点到点,所引的向量与该复数 z 也构成一一,一、复数的几何表示,1. 复平面,对应关系(复数零对应零向量)。,比如，复数的加减法等同于向量的平行四边形法则。,将复数和向量对应之后，除了利用,实部与虚部来给定一个复数以外，,一、复数的几何表示,2. 复数的模与辐角,(1) 向量 z 的长度 r 称。</p><p>6、第三章 级数,1 复数项级数,2 幂级数,3 泰勒级数,4 洛朗级数,2 幂级数,1. 幂级数概念,2. 收敛圆与收敛半径,3. 收敛半径的求法,4. 幂级数的运算和性质,1. 幂级数的概念,称为复变函数项级数。最前面n项的和,设,称为这级数的部分和。,区域D内有定义。表达式,为一复变函数序列, 其中各项在,存在, 则称复变函数项级数在z0收敛, 而s(z0)称为它的和。,如果对于D内的某一点z0, 极限,若级数在D内处处收敛, 则和一定是z 的一个函数 s (z)：,s(z)称为级数,的和函数。,这种级数称为幂级数。,级数的特殊情形:,如果令,或,当 fn(z)=cn-1(z-a)n-1或 fn(z)=c。</p><p>7、1.2 复数的几种表示,一、复数的几何表示,1. 复平面,此时，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴。,用坐标为 的点来,表示复数,从而将全体复数和平面上的全部点,一一对应起来，,z 平面。,引进复平面后，复数 z 与点 z 以及向量 z 视为同一个概念。,在复平面上，从原点到点,所引的向量与该复数 z 也构成一一,一、复数的几何表示,1. 复平面,对应关系(复数零对应零向量)。,比如，复数的加减法等同于向量的平行四边形法则。,将复数和向量对应之后，除了利用,实部与虚部来给定一个复数以外，,一、复数的几何表示,2. 复数的模与辐角,(1) 向量 z 的长度 r 称。</p><p>8、第五章 保角映射,5.1 映射与保角映射的概念,1 映射的概念,2 两曲线的夹角,3 导数的几何意义,4 保角映射的概念,5 关于保角映射的一般理论,5.1.1 映射的概念,复变函数反映了两对变量 x, y 和 u, v 之间的 对应关系，所以可以看成两个复平面中点集的对 应关系.,设 是复平面点集D上的复变函数, 即,z平面中点集D为定义域, 其值域G是w平面中点集,记为G=f (D), 这。</p>