复变函数与积分变换3习题课_第1页
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文档简介

2 一、重点与难点 重点： 难点： 1. 复积分的基本定理； 2. 柯西积分公式与高阶导数公式 复合闭路定理与复积分的计算 3 二、内容提要 有向曲线复积分 积分存在的 条件及计算 积分的性质柯西积分定理 原函数 的定义 复合闭路 定 理 柯西积分 公 式 高阶导数公式 调和函数和 共轭调和函数 4 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑) 曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作 为正方向(或正向), 那末我们就把C理解为带 有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A到B作为曲线C的正向, 那么B到A就是曲线C的负向, 1.有向曲线 5 2.积分的定义 6 ( 7 3.积分存在的条件及计算 （1）化成线积分 （2）用参数方程将积分化成定积分 8 4. 积分的性质 9 5. 柯西古萨基本定理(柯西积分定理) 10 由定理得 11 6.原函数的定义 (牛顿-莱布尼兹公式) 12 7. 闭路变形原理 复合闭路定理 一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线 在区域内作连续变形而改变它的值. 那末 13 14 8.柯西积分公式 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 平均值. 15 9. 高阶导数公式 16 10.调和函数和共轭调和函数 任何在 D 内解析的函数,它的实部和虚部 都是 D 内的调和函数. 17 定理 区域D内的解析函数的虚部为实部的共 轭调和函数. 共轭调和函数 18 三、典型例题 例1 计算 的值，其中C为 1）沿从 到 的线段： 2）沿从 到 的线段： 与从 到 的线段 所接成的折线. 解 19 说明 同一函数沿不同路径所得积分值不同. 20 因此 证 例2 设C为圆周 证明下列不等式. 21 解 例3 计算 当 时, 22 解 23 解法一 利用柯西-古萨基本定理及重要公式 由柯西-古萨基本定理有 24 25 解法二 利用柯西积分公式 26 因此由柯西积分公式得 27 28 解分以下四种情况讨论： 29 30 31 32 33 解 为大于1的自然数. 例6 计算下列积分 34 解法一 不定积分法. 利用柯西黎曼方程, 35 因而得到解析函数 36 解法二 线积分法. 37 因而得到解析函数 38 解法三 全微分法 39 解 例8 已知 求解 析函数 ,使符合条件 40 放映结束，按Esc退出. 41 1. 解根据柯西积分公式知, 其它： 42 比较两式得 43 2。 证 不等式即
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