复合函数微分法

复合函数微分法Tag内容描述：<p>1、作业讲评 机动 目录 上页 下页 返回 结束 8(2)求dz. 解: 12 机动 目录 上页 下页 返回 结束 精确值是V, 近似值是|dV|. 用某种材料做一个开口长方体容器,其外形长5m, 宽4m, 高3m,厚0.2m,求所需材料的近似值与精确值. 解: 设体积为V (m3), 长宽高各为x, y, z (m), 注意: 正确使用各种记号. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 取值, 1.求给定点和自变量增量的全微分时,先声明这些 否则应用记号 2. 表示z对 的导数. 就可以用dz等表示全微分. 第八章 第五节 复合函数和隐函数微分法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一. 复合函数微分法 二. 隐函数。</p><p>2、第7章 多元函数微积分 7.1 多元函数的基本概念 7.2 偏导数 7.3 全微分 7.4 复合函数微分法与隐函数微分法 7.5 多元函数的极值 7.6 二重积分的概念与性质 7.7 二重积分的计算（一） 7.8 二重积分的计算（二） 7.4 复合函数微分法与隐函数微分法 一、多元复合函数微分法 二、隐函数微分法 三、微分法在几何上的应用（不作教学要求 ） 一、多元复合函数微分法 1.复合函数的中间变量为一元函数的情形 2. 复合函数的中间变量为多元函数的情形 3. 多元复合函数的几种复合关系 一、多元复合函数微分法 1. 复合函数的中间变量为一元函数的情形 图7。</p><p>3、第四节 复合函数微分法 一、 链式法则 二、 全微分形式不变性 四、 小结 三、方向导数 一、链式法则 证 上定理的结论可推广到中间变量多于两 个的情况. 如 以上公式中的导数 称为全导数. 定理 2 , 链式法则如图示 即令 特殊地其中 两者的区别 为了避免记号出错，引进另外一种 表示方法。 设，记 用表示对第一个位置的变量求偏导。 用表示对第二个位置的变量求偏导。 即 用表示对第三个位置的变量求偏导。 即 则 可写成 依次类推 等等。 解 解 例3(000305) 设 其中 均可微, 则 解: 例4(020410) 设 , 其中 具有连续二阶偏 导数, 求 . 解: 二。</p><p>4、第五讲 复合函数与隐函数的微分法 内容提要 1.多元复合函数的求导法则； 2.隐函数的求导法则。 教学要求 1.熟练掌握各种情形下的多元复合函数偏导数的求法； 2.理解和掌握抽象复合函数的高阶偏导数。 先复习一元函数复合函数求导法则 一、多元复合函数求导法则 这个复合过程， 下面先对二元函数的复合函数进行讨论 可以形象的用一条链来描述： 定理1 且 上述复合过程可以形象的用一条链来描述： 解 解 练习 说明： 简单表示为 1. 解 2. 复合过程 两者的区别 x f 为了区别将其改为 可以形象的用一条链来描述： 例3 解 定理1可推广到中间变。</p><p>5、第三节 复合函数与隐函数微分法 本节内容简介 二、隐函数的求导法 一、复合函数的求导法则 本节重点：多元复合函数的求导法，隐函数的求导法 。 本节难点：连锁法的运用 教学方式：启发式 教学手段：面授与多媒体课件相结合 教学时数：3学时 一、复合函数的求导法则 1.复合函数的中间变量均是二元函数 定理：若z=f(u,v)在点(u,v)可微，而 在 点（x,y）都存在偏导数，则复合函数 在点（x,y）的两个偏导数存在，且有公式： 为了记忆和正确使用上述公式，可画出变量关系图： z-u-x表示 z-v-x表示 两式相加得公式（1）； z-u-y表示 z-v-y表示 。</p><p>6、3. 4 高阶偏导数和高阶全微分 3. 5 多元复合函数的偏导数和全微分 解: 1 2 1 2 1 2 1 2 作 业 习题 5.3（P.45-46） 13（2）（4）； 14（3）； 15（3）； 16 (2) ；17.。</p><p>7、第二节 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第十七章 一、多元复合函数求导的链式法则 定理. 若函数 处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数 证: 设 t 取增量t , 则相应中间变量 且有链式法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u ,v , ( 全导数公式 ) (t0 时,根式前加“” 号) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若定理中 说明: 例如: 易知: 但复合函数 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 机动 目录 上页 下页 返回 结。</p><p>8、返回返回后页后页前页前页 2 复合函数微分法 凡是学过一些微积分的人, 没有一个会对 复合函数微分法的重要性产生怀疑.可以毫 不夸张地说, 谁不懂得复合微分法, 谁就会 在计算导数或偏导数时寸步难行. 一、复合函数的求导法则 二、复合函数的全微分 返回返回后页后页前页前页 一、复合函数的求导法则 设设函数 (1) 定义义 在 平面的区域 D 上, 函数 (2 ) 定义义在 xy 平面的区域 上. 若 则则可构成复合函数: 返回返回后页后页前页前页 (3) 其中 (1) 为为内函数, (2) 为为外函数, ( x, y ) 为为中间变间变 量, ( s, t ) 为为自变变量. 下面。</p><p>9、8.5多元复合函数微分法 一、复合函数的微分法 两者的区别 区别类似 1 2 1 2 1 2 1 2 全微分形式不变形的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的. 作 业 习 题 五（P126） 1（1）（3）(5)； 2 （2）（3）； 3（2）（4）（5）； 4 ；8 ；10 。。</p><p>10、第四节 多元复合函数与 隐函数的微分法,一、多元复合函数的求导法则 三、小结,证,一、多元复合函数的求导法则 1、链式法则,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,链式法则如图示,特殊地,即,令,其中,两者的区别,区别类似,解,解,解,令,记,同理有,于是,全微分形式不变形的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,2、全微分形式不变性,解,1、链式法则（分三种情况）,2、全微分形式不变性,（特别要注意课。</p><p>11、2 复合函数微分法,凡是学过一些微积分的人, 没有一个会对复合函数微分法的重要性产生怀疑.可以毫不夸张地说, 谁不懂得复合微分法, 谁就会在计算导数或偏导数时寸步难行.,二、复合函数的全微分,返回,一、复合函数的求导法则,一、复合函数的求导法则,设函数,(1),(2),则可构成复合函数:,(3),其中 (1) 为内函数, (2) 为外函数, ( x, y ) 为中间变量,( s, t ) 为自变量.,下面将讨论复合函数 F 的可微性, 并导出 F 的偏导,数与全微分的复合运算法则.,关于 s 与 t 的偏导数分别为,(4),是,(6),(5),(7),现把 (5), (6) 两式代入 (7) 式，得到,整理后。</p><p>12、第六章 多元函数的微分学,第一节 多元函数的极限与连续 第二节 偏导数 第三节 全微分 第四节 复合函数的微分法 第五节 二元函数微分学在几何上的应用 第六节 二元函数的极值,2019年5月13日星期一,2,第四节 复合函数的微分法,3,一、多元复合函数求导的链式法则,定理. 若函数,处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数,且有链式法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( 全导数公式 ),4,若定理中,说明:,例如:,易知:,但复合函数,偏导数连续减弱为,偏导数存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则定理结论不一定成立.,5,推广:,1) 中间变量多于两个的情形.。</p><p>13、17.2 复合函数微分法,17.2.1复合函数的求导法则 17.2.2多元复合函数的偏导数计算举例 17.2.3多元复合函数的全微分,定义,(二元复合函数),设有函数,通过对应关系传递得，函数：,复合线路图:,17.2.1复合函数的求导法则(链式法则),推广,以“外二内二”型复合函数为例.,称这一公式为链式法则。该公式的形式可在 复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”（或“并,联加，串联乘”）来概括。,对所谓“外三内二”、 “外二内三”、 “外 一内二”等复合情况，用“并联加 ，串联乘” 的原则可写出相应的链式法则。例如：,特殊地,即,令,其中,两者的区别。</p><p>14、9.4 复合函数微分法,教学要求：掌握各种复合情况下的多元复合函数求导法则,证,一、链式法则,由P 66 页第10行的公式,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,例1 设,解,ex1：设,求,解：,z,y,x,t,上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,链式法则如图示,例2 设,ex2：求 的偏导数。,解：令,则有,例3 设,Ex3:设函数 具有二阶连续偏导数,且满 足 ,证明:函数,解,令,于是,多元复合函数的求导法则称为链式法则.,随中间变量的增减,链式法则形式上会发生变化,但实质不变.如:,1 中间变量增。</p><p>15、微积分A,1,刻苦勤奋求实创新,理学院工科数学教学中心,第八章多元函数微分学,3,理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上连续函数的性质。,理解偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。会求隐函数的偏导数和全导数。,了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日。</p>