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第四节 复合函数微分法 一、 链式法则 二、 全微分形式不变性 四、 小结 三、方向导数 一、链式法则 证 上定理的结论可推广到中间变量多于两 个的情况. 如 以上公式中的导数 称为全导数. 定理 2 , 链式法则如图示 即令 特殊地其中 两者的区别 为了避免记号出错，引进另外一种 表示方法。 设，记 用表示对第一个位置的变量求偏导。 用表示对第二个位置的变量求偏导。 即 用表示对第三个位置的变量求偏导。 即 则 可写成 依次类推 等等。 解 解 例3(000305) 设 其中 均可微, 则 解: 例4(020410) 设 , 其中 具有连续二阶偏 导数, 求 . 解: 二阶偏导连续 二、全微分形式不变性 全微分形式不变形的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变 量 的函数，它的全微分形式是一样的 . 例5 设 且 连续偏导数，求 根据全微分形式不变性知： 解 令 而 所以 具有 故 注:对函数关系简单的符合函数,使用全微 分形式不变性, 并不能简化求导计算;但对 于函数关系比较复杂的情况,利用微分不变 性比较方便. 例 6 设 具有连续偏导数，求 分析： 解 法1 法2 利用微分不变性 所以 例 7 设 其中具有二阶连续 偏导数 ，求 解 三、方向导数与梯度 （一）方向导数的定义 定义 设函数 在点 的某个邻域 中有定义,是单位向量,如果 的函数 在 处可导, 即 存在,则称此极限值为函数 在点 的 沿方向 的方向导数. 记为 或 例1 求二元函数 在点 处的 沿 的方向导数. 将向量 单位化,解 所以 推论：如果函数 在点 对 和 的 因此,偏导数是特殊的方向导数. 方向导数与偏导数的关系 点沿任意方向的方向导数 都存在，但推不出偏导数存在。 反之，偏导数存在也推不出沿任意方向的 方向导数存在。 函数在某点连续推不出方向导数存在， 反之亦然。 函数连续与方向导数存在的关系 例 在(0,0)点连续但方向导数不存在。 证明 可知在(0,0)点连续。 取 此极限不存在.所以方向导数不存在. 例 函数在（0，0）点沿任意方向的方向导数都存 在，但不连续。 证明 可知不连续。 方向导数什么时候存在？ 其中 为 轴到方向L的转角 证明由于函数可微，则函数值增量可表示为 两边同除以得到 故有方向导数 此定理不仅告诉了我们一个函数在某点 可微，则该函数在此点沿任意方向的方 向导数都存在，而且还告诉了我们求方 向导数的方法。 解 可微 方向导数 （任意方向）连续 偏导数 综上可得下图： 方向导数与可微、可导、连续之间的关系 (二) 梯度的概念 解 由方向导数的计算公式知 故 结论 等高线的画法 等高线上任意一点 处法线的斜率为 梯度的概念可以推广到三元函数 解由梯度计算公式得 故 1、链式法则（分三种情况） 2
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