高等数学第三章

高等数学第三章Tag内容描述：<p>1、高等数学课后习题及参考答案（第三章）习题3-11. 验证罗尔定理对函数y=ln sin x 在区间上的正确性. 解 因为y=ln sin x 在区间上连续, 在内可导, 且, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点, 使得y(x)=cot x=0. 由y(x)=cot x=0得. 因此确有, 使y(x)=cot x=0.2. 验证拉格朗日中值定理对函数y=4x3-5x2+x-2在区间0, 1上的正确性. 解 因为y=4x3-5x2+x-2在区间0, 1上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点x(0, 1), 使. 由y(x)=12x2-10x+1=0得. 因此确有, 使. 3. 对函数f(x)=sin x及F(x)=x+cos x在区间上验证柯西中值定理的正确性.。</p><p>2、一、最值的求法 步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值) 二、应用举例 例1 解 计算 比较得 点击图片任意处播放暂停 例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？ 解 (1)建立敌我相距函数关系 敌我相距函数 得唯一驻点 实际问题求最值应注意: (1)建立目。</p><p>3、班级 姓名 学号第三章 中值定理与导数的应用1. 验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性。解：函数在区间上连续，在区间内可导，故在上满足拉格朗日中值定理的条件。又，解方程得。因此，拉格朗日中值定理对函数在区间上是正确的。2不求函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间。解：函数可导，且。由罗尔定理知，至少存在使即方程有至少三个实根。又因方程为三次方程，故它至多有三个实根。因此，方程有且只有三个实根，分别位于区间内。3若方程 有一个正根 证明:方程必有一个小于的正根。解：取函数。上连续，在内可。</p><p>4、中值定理 第二章我们讨论了微分法，解决了曲线的切线、 法线及有关变化率问题。这一章我们来讨论导数的 应用问题。 我们知道，函数在区间 上的增量可用它的微分 来近似计算 其误差是比 高阶的无穷小 是近似关系 是极限关系,都不便应用 我们的任务是寻求差商与导数的直接关系，既 不是极限关系，也不是近似关系。对此，Lagrange 中值定理给出了圆满的解答： 导数应用的理论基础 本章我们先给出Rolle定理（它是Lagrange定 理的特殊情况），由特殊过渡到一般来证明 Lagrange定理和Cauchy定理，有了Cauchy定理 就可以给出Taylor中值定理及L， 。</p><p>5、莁芆羁袂膁蒁袇袁芃莄螃袀莅蕿虿衿肅莂薅袈膇薈袃羈芀莁蝿羇莂薆蚅羆肂荿薁羅芄薄薇羄莆蒇袆羃肆蚃螂羂膈蒅蚈羂芁蚁薄肁莃蒄袂肀肃芇螈聿膅蒂螄肈莇芅蚀肇肇薀薆肇腿莃袅肆芁蕿螁肅莄莁蚇膄肃薇薃膃膆莀袂膂芈薅袈膁蒀莈螄膁膀蚄蚀螇节蒆薆螆莅蚂袄螅肄蒅螀袄膇蚀蚆袄艿蒃薂袃莁芆羁袂膁蒁袇袁芃莄螃袀莅蕿虿衿肅莂薅袈膇薈袃羈芀莁蝿羇莂薆蚅羆肂荿薁羅芄薄薇羄莆蒇袆羃肆蚃螂羂膈蒅蚈羂芁蚁薄肁莃蒄袂肀肃芇螈聿膅蒂螄肈莇芅蚀肇肇薀薆肇腿莃袅肆芁蕿螁肅莄莁蚇膄肃薇薃膃膆莀袂膂芈薅袈膁蒀莈螄膁膀蚄蚀螇节蒆薆螆莅蚂袄螅肄蒅螀袄膇蚀。</p><p>6、第 三 章,导 数 与 微 分,求导法则与导数公式,导数的四则运算,复合函数的导数,4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数,4.1 隐函数的导数,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),解 方程两边对 求导,得,解得,因为当 时，由原方程得 ，所以,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,例3 求曲线,处的切线方程.,在点,解 方程两边分别对x求导，得,解得,于是所求切线方程为,即,例4求由下列方程确定的隐函数 y = f (x) 的导数：,求,对数求导法,观察,5,将幂指函数表示为,直接求导得,另解,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,。</p><p>7、,1,一、弧微分,二、曲率及其计算公式,三、曲率圆与曲率半径,四、小结,.,2,.,3,一、弧微分,规定：,.,4,单调增函数,如图，,弧微分公式,.,5,二、曲率及其计算公式,曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。,),),（）当弧长相同时，转角越大曲线弯曲程度越大。,（）转角相同时弧段越短弯曲程度越大,1.曲率的定义,),.,6。</p><p>8、,1,一、弧微分,二、曲率及其计算公式,三、曲率圆与曲率半径,四、小结,.,2,.,3,一、弧微分,规定：,.,4,单调增函数,如图，,弧微分公式,.,5,二、曲率及其计算公式,曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。,),),（）当弧长相同时，转角越大曲线弯曲程度越大。,（）转角相同时弧段越短弯曲程度越大,1.曲率的定义,),.,6。</p><p>9、例1. 证明方程,有且仅有一个小于1 的,正实根 .,证: 1) 存在性 .,则,在 0 , 1 连续 ,且,由零点定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根,2) 唯一性 .,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件 ,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真!,设,例2. 证明等式,证: 设,由推论可知,(常数),令 x = 0 , 得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,经验:,欲。</p><p>10、第三章,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),导数与微分,导数思想最早由法国,数学家 Ferma 在研究,极值问题中提出.,英国数学家 Newton,第三章 导数与微分,3.1 引入导数概念的例子,3.2导数概念,3.3 导数的基本公式与运算法则,3.4 高阶导数,3.5 微分,第。</p><p>11、第三节 泰勒公式,一问题的提出 二泰勒公式 三简单应用,一问题的提出,若记,则,不足:,1精确度不高；,2误差不能估计.,问题1：试找一个关于,来近似表达 f x ，要求：,1误差,2具体给出误差,3,的 n 次多项式,当,是比,高阶的无穷。</p><p>12、2,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,常用的 泰勒公式,Cauchy 中值定理,Taylor 中值定理,一、主要内容,3,1、罗尔中值定理,4,2、拉格朗日中值定理,有限增量公式.,5,3、柯西中值定理,推论,6,4、洛必达法则,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,关键:将其它类型未定式化为洛必达。</p>