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文档简介

第 三 章,导 数 与 微 分,求导法则与导数公式,导数的四则运算,复合函数的导数,4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数,4.1 隐函数的导数,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),解 方程两边对 求导,得,解得,因为当 时，由原方程得 ，所以,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,例3 求曲线,处的切线方程.,在点,解 方程两边分别对x求导，得,解得,于是所求切线方程为,即,例4求由下列方程确定的隐函数 y = f (x) 的导数：,求,对数求导法,观察,5,将幂指函数表示为,直接求导得,另解,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,注意:,说明:一般地,将幂指函数表示为,直接求导得,另解,对数求导法同时适用于积与商的函数求导数：,2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .,解 两边取对数，得,两边对 求导，得,于是,4.2由参数方程所确定的函数的导数,若参数方程,为由参数方程所确定的函数。,即,或,例6 已知椭圆的参数方程为,或,则,例8 设,求,解,5 函数的微分,引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,5.1 微分的概念,1.定义,函数 y = f (x) 可微的条件,二、微分四则运算法则,三、复合函数的微分法则 及一阶微分形式不变性,的微分为：,由于,一阶微分形式不变性,解,解,例4 求下列函数的微分,y = (3x2 4) (4x3 + x 1 ),解： ,y=,(3x2 4),(4x3 + x 1 ),+ (3x2 4) (4x3 + x 1 ),=,6x,(4x3 + x 1 ),+ (3x2 4),(12x2 + 1 ),= 60x4 39x2 6x 4, 函数的微分为：,d y = (60x4 39x2 6x 4 ) dx,解,2. 在下列等式左端的括号内填入适当函数，,使等式成立：,解（1）,（2）,5.3微分在近似计算中的应用,常用的近似计算公式：,即,解 取,得,例10 已知半径为10cm的金属圆片加热后半径,伸长了0.05cm,求圆面积约增加了多少?,令,圆面积约增加,练习,对 x 求导,两边取对数,解:,ln(x 1),+ ln(x 2), ln(x 3),作业：,13（对数求导法）(1)(3)、,15.（微分）(1)(2)(3),（习题三） 12（隐函数）（1）（2）（4）,
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