函数的极值和

函数的极值和Tag内容描述：<p>1、33.2函数的极值与导数提出问题如图是函数yf(x)的图象问题1：yf(x)在xa处的导数f(a)等于多少？提示：f(a)0.问题2：当xa时，f(x)取最大值吗？提示：不是，但f(a)比xa附近的函数值都大问题3：在xa附近两侧导数f(x)的符号有什么特点？提示：在xa附近左侧f(x)0，右侧f(x)0.导入新知1极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，就把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)极大值点与极大值若函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb。</p><p>2、6.4 函数的极值与最大(小)值,一、函数极值的判定 二. 最值的求法 三、小结,一、函数极值的判定,复习函数极值的定义,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,费马定理(取极值的必要条件),定理1(第一充分条件),(不是极值点情形),(是极值点情形),求极值的步骤:,例1,解,列表讨论,极大值,极小值,图形如下,例2,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,极大值,极小值,定理2(第二充分条件),证法1,例4,解,图形如下,注意:,二、最值的求法,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较。</p><p>3、4 函数的极值与最大（小）值,首页,一 极值判别,二 最大值与最小值,一 极值判别,函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征.,费马定理（定理5.3）已经告诉我们，若函数 在点 可,导，且 为 的极值点，则 =0，这就是说可导函数在点 取极值的必要条件是 =0.,注 定理5.3说明可导函数的极值只能在其驻点 处取到，,即 是驻点只是可导函数 在点 取得极值的必要条件，而不是充分条件，如 ， 是其驻点，但并不是 的极值点.,首页,设 在点 连续，在某邻域 内可导.,（I）若当 时 ，当 时 ，则在点 取得极小值.,（II）。</p><p>4、1,一、函数极值及求法,二、最值的求法,三、应用举例,四、小结及作业,2,一、函数极值及求法,3,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,4,5,定理1(必要条件),6,定理表明：,例如,7,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),8,求极值的步骤:,(不是极值点情形),9,例1,解,列表讨论,极大值,极小值,10,图形如下,11,例2. 求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,导数不存在的点,3) 列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,12,定理3(第二充分条件),证,13,例3,解,图形如下,14,注意:,15,16,17,1。</p><p>5、4.3 函数的极值和最值,函数极值的定义 函数极值的求法,一、函数极值的定义,极值是局部区域上的 最大或最小值； 在间断点或端点处不 考虑极值。,对连续函数， 极大、极小交替出现。,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,定义,二、函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,注:,例如,极值存在的必要条件,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),极值存在的充分条件,求极值的步骤:,(不是极值点情形),例1,解,列表讨论,极大值,极小值,图形如下,定理3(第二充分条件),证,例2,解,图形如下,注意:,例3,解,注意:函数的不可导点,也。</p><p>6、1,3.4 函数的极值与最值,定义3.4.1,设 f(x) 在区间 (a, b) 内有定义,都有,极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,若存在,1).,2).,3.4.1 函数的极值及其求法,2,注意,1) 函数的极值概念是局部性的,2) 函数的极值可能有多个,3) 函数的极大值可能比极小值小,4) 函数的极值不在端点上取,3,极小值为:,函数的极值在单调区间的分界点处取得.,4,定理3.4.1（极值存在的必要条件）(费尔马定理),由定义知,条件必要而不充分.,即导数为零的点未必是极值点.,注意,例 y= x3 在 x= 0点导数为零，但不是极值点。,5,说明,1）导数不存在的点。</p>