函数极限的性质

函数极限的性质Tag内容描述：<p>1、3.2 函数极限的性质 一 .极限的性质 二 . 利用函数极限的性质 计算某些函数的极限 v定理3.2 如果当xx0时f(x)的极限存 那么这极限是唯一的 证明 ， x x f B A 时的极限 当 都是 设 0 , , ) ( 0 , 0 , 0 1 0 1 e d d e - - $ “ A x f x x 时有 当 则 , ) ( 0 , 0 2 0 2 e d d - - $ B x f x x 时有 当 故有 同时成立 时 则当 取 ， x x ) 2 ( ), 1 ( 0 ), , min( 0 2 1 d d d d - . 2 ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( e - + - - - - - B x f A x f B x f A x f B A . . 即其极限唯一 的任意性得 由 B A e (1) (2) 一 函数极限的性质 1.唯一性 2.局。</p><p>2、一、自变量趋于有限值时函数的极限,自变量变化过程的六种形式:,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容 :,函数的极限（定义及性质）,一、自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时函数极限的定义,或,时, 有,当,几何解释,2. 左极限与右极限,左极限 :,当,时, 有,右极限 :,当,时, 有,结论：,例. 给定函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解: 利用结论 .,因为,显然,所以,不存在 .,3. 函数极限的性质,保号性. 若,且 A 0 ,则存在,( A 0 ),极限的唯一性；局部有界性；局部保号性,3. 函数极限的性质,保号性. 若,且 A 0 ,则存在,( A 0 ),极限的唯一性；局。</p><p>3、2.3 函数极限的性质及运算法则,定义2.3,性质2.5,性质2.6,（类似可定义其他过程下的有界性）,性质2.8,且,则,性质2.7,例,证明,性质2.9,说明: 性质可推广到有限个函数的情形 .,例.求极限,(直接代入法),解,(1)参加求极限的函数应为有限个;,(2)每个函数的极限都必须存在;,(3)考虑商的极限时，还需要求分母的极限不为零。,例.,(约去零因子法),解,例,解,(先化简再约去零因子法),例.,(根式有理化法),所以，,解,例. 求,时,分子,分母,分子分母同除以,则,“ 抓大头”,原式,解,为非负常数 ),用变量的最高次幂去除分子,分母.,一般有如下结果：,性质2.10。</p><p>4、3.2 函数极限的性质,.极限的性质 二 . 利用函数极限的性质计算某些函数的极限,定理3.2,如果当xx0时f(x)的极限存, 那么这极限是唯一的,证明,(1),(2),一 函数极限的性质,1.唯一性,2.局部有界性,若极限,存在，,则函数,在,的某一空,心邻域上有界。,证明,3. 局部保号性,定理3.4,证明 设A0,对任何,0,使得对一切,这就证得结论.对于A 0的情形可,类似地证明.,推论,定理3.4(函数极限的局部保号性),如果f(x)A(xx0) 而且A0(或A0) 那么对任何正数r0 (或f(x) -r 0),证明,推论,如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0) 而且 f(x)A(xx0) 那么A0(或A0),3. 。</p><p>5、第三章 函数极限,二 函数极限的性质,2,函数极限的性,质,在,1,中我,们,引入了下述六,种类,型的函数极限：,1,）,(,),x,f,x,+,lim,；,2,）,(,),x,f,x,-,lim,；,3,）,(,),x,f,x,lim,；,4,）,(,),x,f,x,x,+,0,lim,；,5,）,(,),x,f,x,x,-,0,lim,；,6,）,(,),x,f,x,x,0,lim,它,们,具有与数列极限相,类,似的一些性,质，,下面以第,6,）,种类,型的极限,为,代表来叙述,并,证,明,这,些性,质,。至于其他,类,型极限的性,质,及其,证,明，只要相,应,的作些修改即可。,定理1(函数极限的唯一性),如果当xx0时f(x)的极限存在, 那么这极限是唯一的,证明,定理1(。</p><p>6、1.3.4 函数极限的性质,注意,1.3.5 函数极限的运算,作,业,习,题,四,（,P19- P20,）,1（提示：取 ）； 2（2）（4）（10）；3（2）（3）； 5 。,1.3.6 两个重要极限,以上为求极限而进行的各种变形都是很基本的，,也很重要，应熟练掌握。,习,题,五,（,P22,）,1（1）（8）；2 （1）（4）。,作,业。</p><p>7、2.函数的极限的基本性质,一、函数极限的性质,证明：,性质4.1.（唯一性）,证明：,性质4.2.（局部有界性）,性质4.3. (保序性),证明：,性质4.4(保号性),证明：,性质4.5(夹逼定理),证明：,例3,例9,二、极限的四则运算性质,定理4.1（函数极限四则运算性质）,定理4.2（复合函数的极限）,证明：,注：,定理4.3 ( 海涅定理),注: 海涅定理建立了数列极限和函数极限的联系,四、海涅定理和柯西定理,与已知矛盾,例如,Heine定理的应用1： 由函数极限得到多个数列极限的值,例7,证,二者不相等,Heine定理的应用2：证明函数极限不存在,证明：,定理4.4 ( 柯西。</p><p>8、2.3 函数极限的性质及运算法则,定义2.3,性质2.5,性质2.6,性质2.7,证明,性质2.8,且,则,性质2.9,性质2.10,这一性质是用变量替换求极限的理论基础，,例1,证明,由不等式 和 可得,由此即得不等式 .,例2,解,例3,证明,必要性：,充分性：,例4,解,(1) 由于。</p><p>9、第一章,二、 极限的四则运算法则,三、 复合函数的极限运算法则,一 、函数极限的性质,第四节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数极限性质与运算法则,1.函数极限的唯一性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 局部有界性,定理1 .,一 、函数极限的性质,3. 局部保号性,定理3.1 若,且 A 0 ,证: 已知,即,当,时, 有,当 A 0 时,取正数,则在对应的邻域,上,( 0),则存在,( A 0 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,若取,则在对应的邻域,上,若,则存在,使当,时, 有,推论:,分析:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 3.2 若在,的某去心邻域内, 且,则,证: 用。</p><p>10、2.函数的极限的基本性质,一、函数极限的性质,证明：,性质4.1.（唯一性）,证明：,性质4.2.（局部有界性）,性质4.3. (保序性),证明：,性质4.4(保号性),证明：,性质4.5(夹逼定理),证明：,例3 求,解：如图易得,二、极限的四则运算性质,定理4.1（函数极限四则运算性质）,定理4.2（复合函数的极限）,证明：,注：,定理4.3 ( 海涅定理),注: 海涅定理建立了数列极限和函数极限的联系,四、海涅定理和柯西定理,证：,该结论可以方便的证明函数极限不存在.,注：,例4,证,得证,证明：,定理4.4 ( 柯西收敛定理),左极限,右极限,定义4.4:（函数的左右极限）,。</p><p>11、二、函数极限的定义,1.自变量趋于有限值时函数的极限,（1）定义：,（2）几何解释:,注意：,例1,证,例2,证,例3,证,函数在点x=1处没有定义.,例4,证,（3）单侧极限:,例如,左极限,右极限,左右极限存在但不相等,例5,证,播放,2、自变量趋向无穷大时函数的极限,自变量趋向无穷大时函数的极限,自变量趋向无穷大时函数的极限,自变量趋向无穷大时函数的极限,自变量趋向无穷大时函数的极限,自变量趋向无穷大时函数的极限,自变量趋向无穷大时函数的极限,自变量趋向无穷大时函数的极限,自变量趋向无穷大时函数的极限,自变量趋向无穷大时函数的极限,通过。</p><p>12、3.2函数极限的性质,一.极限的性质二.利用函数极限的性质计算某些函数的极限,定理3.2,如果当xx0时f(x)的极限存,那么这极限是唯一的,证明,(1),(2),一函数极限的性质,1.唯一性,2.局部有界性,若极限,存在，,则函数,在,的某一空,心邻域上有界。,证明,3.局部保号性,定理3.4,证明设A0,对任何,0,使得对一切,这就证得结论.对于A0的情形可,类似地证明.,推论。</p><p>13、第三章 函数的极限 2 函数极限的性质 数学分析电子教案2 函数极限的性质【教学目的】掌握函数极限的基本性质唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、迫敛性以及四则运算性等，并能应用相关性质解决函数的极限问题。【教学重点】函数极限的性质及其计算。【教学难点】函数极限性质证明及其应用。在1中我们引入了下。</p>