函数幂级数展开

函数幂级数展开Tag内容描述：<p>1、9-5 函数展开成幂级数 1 定理 若幂级数的收敛半径则其和函 在收敛域上连续； 且在收敛区间内可逐项求导与 逐项求积分, 运算前后收敛半径相同，即 收敛域 1.1.幂级数和函数的分析运算性质幂级数和函数的分析运算性质: : 复习 2 求部分和式的极限 二、幂级数和函数的求法 求和 逐项求导或求积分法 逐项求导或求积分 对和式积分或求导 难 （在收敛区间内） 3 第五节 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第九章 展开方法 直接展开法 间接展开法 4 则称函数在该区间内能展开成幂级数 给定函数如果能找。</p><p>2、泰勒级数 函数展成幂级数 小结 一、泰勒级数 上节例题 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 证明 泰勒系数是唯一的, 逐项求导任意次,得 泰勒系数 问题 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定. 定理2 . 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式余项满足: 证明: 令 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 。</p><p>3、一、近似计算,两类问题:,1.给定项数,求近似值并估计精度;,2.给出精度,确定项数.,关健:,通过估计余项,确定精度或项数.,常用方法:,1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;,2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.,例1,解,余和:,例2,解,其误差不超过 .,二、计算定积分,解法,逐项积分,展开成幂级数,定积分的近似值,被积函数,第四项,取前三项作为积分的近似值,得,例 (P219 2.(2),解,收敛的交错级数,练 习 题,练习题答案。</p><p>4、7.5 函数的幂级数展开式,通过上节的学习知道:任何一个幂级数在其收敛区间 内,均可表示成一个函数(即和函数).,本节要解决的问题是:给定函数 f (x),能否在某个区间内展成幂级数.,即能否找到幂级数,在某个区间内收敛,且其和函数就是给定的函数f (x).,若能找到这样的幂级数,我们说,函数f (x)在该区间内能展成幂级数.,将已知函数展开成幂级数,需解决以下两个问题：,(2) 函数(x)满足什么条件才能展开成幂级数?,(1) 如果函数可以展开成幂级数,应如何确定幂级数的系数?,泰勒级数,证明：,注：此定理给出了在函数可以展成幂级数的前提下,求函数幂级。</p><p>5、第四节 函数的幂级数展开,问题导言：计算特殊数 值，以及一些基本初等函数的函数值具有广泛的应用价值. 解决这些值计算的一种有效方法是利用函数逼近. 关于函数逼近首先要考虑两方面问题：一是何种类型函数来逼近给定的函数. 二是以何种方式来逼近给定函数. 用函数逼近的最简单形式莫过于幂级数. 在此主要讨论如何将一个函数表达成幂级数.,定理（泰勒公式） 设函数f (x)在含x0的某区间(a,b)内具有直至n+1阶导数, 则当 时有泰勒展开式,一、泰勒公式,马克劳林公式 若在泰勒公式中令 ，则有,（ 介于0与x之间）.,此展开式称为马克劳林公式 .,。</p><p>6、一、泰勒级数,二、函数展开成幂级数,11.4 函数展开成幂级数,函数f(x)是否能在某个区间内“展开成幂级数”, 就是说, 是否能找到这样一个幂级数, 它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数f(x). 如果能找到这样的幂级数, 则称函数f(x)在该区间内能展开成幂级数.,一、泰勒级数,复习,根据泰勒中值定理, 如果函数f(x)在x0的某邻域内具有各阶导数 则在该邻域内,等式右端的多项式当其项数趋于无穷时, 将成为幂级数, 这个幂级数就称为f(x)的泰勒级数.,一、泰勒级数,泰勒级数,如果函数f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数, 则幂级数,称为函数f(x)。</p><p>7、第五节,一、近似计算,二、欧拉公式,函数幂级数展开式的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,一、近似计算,例1. 计算,的近似值, 精确到,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算,的近似值 ,使准确到,解: 已知,故,令,得,于是有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在上述展开式中取前四项,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 在展开式,中,令,得,具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如,( n为自然数) ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 利用,求,误差.,解: 先把角度化为弧度,(弧度),误差不超过,的近似值 , 并估计,机动 目录 。</p><p>8、14.2 函数的幂级数展开,一、函数的幂级数展开,1. Taylor级数,则有Taylor公式和Maclaurin公式 .,Taylor公式：,Peano型余项：,Lagrange型余项:,在上述积分型余项的条件下，有,Cauchy余项：,Taylor公式仅有有限项，是用多项式逼近函 数。项数无限增多时，得,Taylor级数：,Taylor级数。,Maclaurin级数，,定义,函数 f(x)与其Taylor级数是否相等呢？,不一定.,自然会有以下问题,2函数与其Taylor级数的关系,求得,其Taylor级数为,该幂级数的收敛域为,而在其他点并不相等，因为级数发散。,那么，在Taylor级数的收敛点，是否必有f (x) 和其Taylor级数。</p><p>9、问题： 为何将函数展开成幂级数？ 将函数展开成幂级数需要何条件？ 如何将函数展开成幂级数？,第六节 函数的幂级数展开式,为何将函数展开成幂级数？,数学思想： 将复杂问题的简单化，用简 单的函数表示复杂的函数。,复杂的 函数,简单的 函数,数学的方法,在上节我们讨论了幂级数的和函数性质，但在实际问题中，我们需要将一个函数表示成一个幂级数形式。,如果 在点 的某一个邻域内具有直到n+1阶的导数，则有其n阶泰勒公式：,=,其中,为Lagrange型余项：,介于,与,之间。,前面我们已经介绍了一个函数的泰勒公式：,将函数展开成幂级数需要何种。</p>