函数的幂级数展开简.ppt

,第四节 函数的幂级数展开,问题导言：计算特殊数 值，以及一些基本初等函数的函数值具有广泛的应用价值. 解决这些值计算的一种有效方法是利用函数逼近. 关于函数逼近首先要考虑两方面问题：一是何种类型函数来逼近给定的函数. 二是以何种方式来逼近给定函数. 用函数逼近的最简单形式莫过于幂级数. 在此主要讨论如何将一个函数表达成幂级数.,定理（泰勒公式） 设函数f (x)在含x0的某区间(a,b)内具有直至n+1阶导数, 则当 时有泰勒展开式,一、泰勒公式,马克劳林公式 若在泰勒公式中令 ，则有,（ 介于0与x之间）.,此展开式称为马克劳林公式 .,称为马克劳林多项式 . 称为余项. 且有,拉格朗日型余项.,常用的泰勒公式,的充分必要条件是,二、泰勒级数,设函数f (x)在含x0的某区间(a,b)内具有任意阶导数， 由泰勒公式可知,即,由此可知,也即当 时,有,定理 设 f (x)在包含点 在内的某区间内有任意阶导数. f (x)在点 处的泰勒级数在该区间内收敛于f (x)的充分必要条件是在该区间内,定义 级数 ，称为f (x)在 处的泰勒级数. 级数 称为 f (x)的在x =0 处的麦克劳林级数.,函数 f (x) 的泰勒级数收敛于f (x) 也称为f (x) 可以展开成泰勒级数.,泰勒级数展开的唯一性,设f (x)在 的某对称区间 内可以展开成 的幂级数,将上式逐阶求导，有,这样就证明了下述定理：,以 代入上式，有,定理(唯一性定理) 若 f (x)在某区间内可以展开为 的幂级数,则此幂级数必为其泰勒级数，也即其系数必定为泰勒系数,1.求出f (x)的各阶导数,2.计算,3.写出 f (x)在 处的泰勒级数,4.求出上述泰勒级数的收敛区间(R, R)，,5.在收敛区间内证明,6.写出展开式,三、将函数展开成幂级数,1.直接展开法 用展开定理直接将 f (x)展开为泰勒级数的方法为直接展开法，其步骤为,例 将 展开为马克劳林级数.,解 求出 的n 阶导数 .,因此,故函数 的马克劳林级数为,其收敛区间为 .,收敛半径为,于是，有,由比值法可知正项级数 收敛.,对任取定的x，则对于任何介于0与x之间的 ，有,所以，由收敛必要条件知,所以有展开式,例 将f (x)=sin x在x=0处展开为马克劳林级数.,解,故,马克劳林级数为,其收敛区间为 ，因为,（ 位于0与x之间）.,由于 为收敛级数，其通项的极限为零，,或写为,因此 ，故有,所谓间接展开法, 就是利用已知的幂级数展开式, 利用幂级数在其收敛区间内的四则运算、分析运算性质,即幂级数逐项加、减, 逐项求导、逐项积分等运算, 将所给函数展开为泰勒级数.,2. 间接展开法,例 将 f (x)=cos x展开为麦克劳林级数.,解 由,两边求导得,例 将 f (x)=ln(1+x)展开为马克劳林级数.,解 因为,上式两端积分得,即,所以,解 因为,于是,所以,积分得,例 将 展开为马克劳林级数.,常用的展开式公式,将函数间接展开成幂级数，通常还使用下述变换法若函数 f (x) 的幂级数展开为,则有,解 由,例 将函