极限的基本性质

极限的基本性质Tag内容描述：<p>1、第二节 极限的基本性质 第二章 一、收敛数列的性质 1. 唯一性 2. 有界性 3. 保号性、保序性 4. 收敛数列与其子列的关系 二、函数极限的性质 1. 唯一性 2. 局部有界性 3. 局部保号性 4. 函数极限与数列极限的关系 第二章 一、收敛数列的性质 1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性) 即若 则必有 若极限 则极限唯一. ( 用反证法) 及且 取因 N1 N+, 使当 n N1 时, 假设 即当 n N1 时, 从而 使当 n N1 时, 证法1 同理, 因 故 N2 N+, 使当 n N2 时, 有 从而 使当 n N2 时, 有 从而 使当 n N1 时, 则当 n N 时, 矛盾！故假设不真 ! 例1 证明。</p><p>2、2.函数的极限的基本性质,一、函数极限的性质,证明：,性质4.1.（唯一性）,证明：,性质4.2.（局部有界性）,性质4.3. (保序性),证明：,性质4.4(保号性),证明：,性质4.5(夹逼定理),证明：,例3,例9,二、极限的四则运算性质,定理4.1（函数极限四则运算性质）,定理4.2（复合函数的极限）,证明：,注：,定理4.3 ( 海涅定理),注: 海涅定理建立了数列极限和函数极限的联系,四、海涅定理和柯西定理,与已知矛盾,例如,Heine定理的应用1： 由函数极限得到多个数列极限的值,例7,证,二者不相等,Heine定理的应用2：证明函数极限不存在,证明：,定理4.4 ( 柯西。</p><p>3、第四节 极限的基本性质,第一章,一、极限的唯一性,二、收敛数列的有界性及有极限 函数的局部有界性,三、极限的保号性(或局部保号性),四、收敛数列与其子列的关系,五、函数极限与数列极限的关系,如果极限,那么极限唯一.,证 (用反证法),及,且,取,因,存在 N1 ,使当 n N1 时,假设,一、唯一性,定理1.1 (极限的唯一性),即当 n N1 时,从而,使当 n N1 时,同理, 因,故存在 N2 ,使当 n N2 时, 有,从而,使当 n N2 时, 有,矛盾！,因此收敛数列的极限必唯一.,则当 n N 时,故假设不真 !,例1 证明数列,是发散的.,证法1 (用反证法),假设数列,收敛 ,则有唯一。</p><p>4、第二节极限的基本性质,第二章,一、收敛数列的性质,唯一性有界性保号性、保序性,4.收敛数列与其子列的关系,二、函数极限的性质,唯一性局部有界性局部保号性函数极限与数列极限的关系,第二章,一、收敛数列的性质,1.唯一性定理1.1(收敛数列极限的唯一性),即若,则必有,若极限,则极限唯一.,(用反证法),及,且,取,因,N1N+,使当nN1时,假设,即当nN1时,证法1。</p>