极坐标计算二重积分

极坐标计算二重积分Tag内容描述：<p>1、极坐标系下二重积分的计算,二、二重积分的极坐标转化及计算,一、极坐标与直角坐标系的关系,什么是极坐标?,在平面内取一个定点O，,引一条射线OX，,这样就建立了一个极坐标系。,叫做极点。,叫做极轴,对于平面内任一点M,记 |OM|= r ,r,（r，）就叫做点 M 的极坐标。,XOM= ,平面上任一点,（r，）,一、极坐标与直角坐标系的关系,两坐标系中变量间关系：,设积分区域 D为平面有界区域, 并且从原点发出的射线与D的边界线交点不多于两个, 则区域D被分割情形见下图.,二重积分中被积函数,求极坐标下的积分元素,的表示方法。,二、二重积分的极坐标转化。</p><p>2、二、利用极坐标系计算二重积分,二重积分在直角坐标下的计算公式,提示,我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.,小区域si的面积为:,二、利用极坐标系计算二重积分,我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.,小区域si的面积为:,二、利用极坐标系计算二重积分,如果积分区域可表示为 D: j1(q)j2(q), aqb, 则,提示,解:,例5 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积,解,由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍,在极。</p><p>3、二、利用极坐标系计算二重积分,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,区域特征如图,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,解,解,解,解,例5 求由球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2ay所围立体的体积。,解： 计算第一挂限部分体积,解, D=2D1,例7,解,三、二重积分的换元法,例1,解,例2,解,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案。</p><p>4、对应有,二、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下, 用同心圆 r =常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线 =常数, 分划区域D 为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,则,特别, 对,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若 f 1 则可求得D 的面积,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,机动 目录 上页 下页 。</p><p>5、8. 二重积分在极坐标系下的计算方法,1. 极坐标的意义和极坐标与直角坐标的转换公式,2. 二重积分在极坐标系下的形式,3. 平面曲线与平面区域在极坐标系下的表示形式,4. 平面区域的极坐标表示法实例,将平面区域视为分布在某个角度内的无穷条射线（段）束的组合,6. 用极坐标计算二重积分操作步骤与实例,ii) 写出二重积分区域 D 在极坐标下 的表示形式 ( 这是关键）;,iii) 把二重积分化为极坐标下的累次积分（先积 r 后积 的内外两个 定积分）;,iv) 视 为参数，先对 r 计算内层定积分; 再对 计算外层定积分。,5. 二重积分在极坐标系下的累次积。</p><p>6、7.2.2 利用极坐标计算二重积分,Double integrals in polar coordinates,直角坐标,极坐标,圆,复杂,简单,直角坐标,极坐标,圆,或,直角坐标,极坐标,圆,或,直角坐标,极坐标,直线,直角坐标,极坐标,直线,并不方便,直角坐标,极坐标,直线,也不方便,直角坐标,极坐标,圆域D：,极坐标系中的矩形,老师：我怎么看它都不像矩形？,直角坐标,极坐标,上半圆域 D：,极坐标系中的矩形,直角坐标,极坐标,圆域 D：,直角坐标,极坐标,圆域 D：,直角坐标,极坐标,圆环域D：,极坐标系中的矩形,极坐标中的面积元素,设有区域：,一族射线,一族同心圆,极坐标下的面积元素,。</p><p>7、二、利用极坐标系计算二重积分,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,区域特征如图,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,解,解,解,解,例5 求由球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2ay所围立体的体积。,解： 计算第一挂限部分体积,解, D=2D1,例7,解,三、二重积分的换元法,例1,解,例2,解,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案。</p><p>8、二、利用极坐标系计算二重积分,二重积分在直角坐标下的计算公式,提示,我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.,小区域si的面积为:,二、利用极坐标系计算二重积分,我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.,小区域si的面积为:,二、利用极坐标系计算二重积分,如果积分区域可表示为 D: j1(q)j2(q), aqb, 则,提示,解:,例5 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积,解,由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍,在极。</p><p>9、一、利用极坐标系计算二重积分,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,区域特征如图,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,解,解,解,解,解,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,二、小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案。</p><p>10、三、二重积分的换元法,第二节,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算,为什么引用极坐标计算二重积分,2,1,D,D1,D2,D3,D4,D:,.,怎么计算？,需使用极坐标系！,此题用直角系算麻烦,必须把D分块儿!,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如计算,其中,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角坐标计算.,由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,本题解法见后面例题8,还可举例,极坐标系下的面积元素,将,变换到极坐标系,0,D,i,ri,ri+1,.,.,.,.,.,.,利用极坐标计算二重积分,i,i,i +i,I =,ri。</p><p>11、第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,机动目录上页下页返回结束,二重积分的计算法（2）,第八章,复习：一、利用直角坐标计算二重积分,在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X。</p><p>12、三 二重积分的换元法 第二节 二 利用极坐标计算二重积分 机动目录上页下页返回结束 二重积分的计算 为什么引用极坐标计算二重积分 2 1 D D1 D2 D3 D4 D 怎么计算 需使用极坐标系 此题用直角系算麻烦 必须把D分块儿 二 利用极坐标计算二重积分 机动目录上页下页返回结束 又如计算 其中 的原函数不是初等函数 故本题无法用直角坐标计算 由于 机动目录上页下页返回结束 本题解法见后面例。</p>