矩阵的特征值和特征向量

矩阵的特征值和特征向量Tag内容描述：<p>1、1 第五章 相似矩阵 第五章 相似矩阵 5.1 方阵的特征值与特征向量 5.2 矩阵相似对角化 5.3 Jordan标准形介绍 * 2 第五章 相似矩阵 5.1 方阵的特征值与特征向量 5.1 方阵的特征值与特征向量 一、问题的引入 二、基本概念 三、特征值与特征向量的求解方法 四、特征值的性质 五、特征向量的性质 3 第五章 相似矩阵 5.1 方阵的特征值与特征向量 一、问题的引入 矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用， 如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域 中方阵的对角化、微分方程组的求解、线性方程组的迭 代法求解等问题都会用到该。</p><p>2、方阵的特征值和特征向量 一.基本概念 定义义1. 设设A是一个n阶阶方阵阵，0是一个数字， 是一个非零的n维维向量，若A = 0，则则称 0是方阵阵A的一个特征值值，是A的与特征值值 0对应对应 的一个特征向量。 显然： 0是方阵阵A的一个特征值值 线线性方程组组(A - 0E)X = 0有非零解 行列式|A - 0E| = 0 定义2. 称关于变量的n次多项式 为方阵A的特征多项式 . 称关于未知数的n次代数方程|A - E| = 0 为方阵A的特征方程。 显然， 0是方阵阵A的一个特征值值 0是特征方程|A - E| = 0的一个根。 是A的与特征值值0对应对应 的一个特征向量 是线线性方。</p><p>3、数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第7章 矩阵的特征值和特征向量 很多工程计算中，会遇到特征值和特征向量的计算，如： 机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界 值等。这些特征值的计算往往意义重大。 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 特征值： 的根 为矩阵A的特征值 特征向量：满足的向量v为矩阵A的对于特征值 的 称为矩阵A的特征多项式 是高次的多项式，它的求根是很困难的。没有数值方 法是通过求它的根来求矩。</p><p>4、第三章 矩阵特征值和特征向量计算 转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。 工程实践中有许多问题，如桥梁或建筑物的振动，机械 机件、飞机机翼的振动， 及一些稳定性分析和相关分析可 3.1. 幂法和反幂法 3.1.1 幂法 幂法用于求矩阵A的按模最大的特征值及相应的特征向量。 一、算法构造及收敛性分析 归一化处理与实际计算方法 特征值的计算 3.1.2 反幂法 反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量 的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最 有效的方法。 反幂法的一个应用 3.2 Jacobi方法 一、矩阵的旋转变换 说明： 解：。</p><p>5、矩阵特征值与特征向量 n一填空题 n2, 3, 4, 5, 8, 9，10 n二选择题 n6，7 n三计算 n2,4,8 n四证明 n2，4 1 一、填空 2. 因为是正交矩阵, 所以 又因为所以 故 3. 因为所以 4. 因为的特征值是的特征值的倒数. 2 5.因为设由于对称矩阵的 属于不同特征值的特征向量是正交的, 所以 解齐次方程组 得一非零解 3 8. 因为则与有相同的特征值, 已知的全部 特征值为故的全部特征值为 从而的全部特征值为 存在可逆矩阵使得 即 4 所以 5 9. 因为设为的非零解, 即 所以是的一个特征值. 10. 的三个特征值分别为 因为设为的特征值, 即 且 从而 即 又因为的。</p><p>6、第四章 矩阵的特征值与特征向量 一.特征值与特征向量的概念与计算 二.相似矩阵与可对角化矩阵 三. 实对称矩阵的特征值与特征向量 *四. 矩阵级数 五.特征值与特征向量的应用 历史点滴 v1743年，法国数学家达朗贝尔（1717-1783）在研 究常系数线性微分组的解的问题时提出“特征 值”的概念 v1820初，法国数学家柯西首先用“特征值” 的方法对实二次型进行研究，后据此提出了实 对称矩阵的“标准形理论” v1878年，法国数学家弗罗贝尼乌斯（1849-1917） 首先定义了矩阵的“相似”与“合同”的概念 并证明了它们的一些主要性质 一.特征值与特。</p><p>7、第5章 矩阵特征值与特征向量的计算 n阶方阵A的特征值是特征方程 det(A-E)=0 的根. Gerschgorin圆盘定理 设矩阵A=(aij)nn ,记复平面上以aii 为圆心,以ri= 为半径的n个圆盘为 Ri=aiiri,i=1,2,n A的特征向量是齐次线性方程组 (A-E)x=0 的非零解. 则 (1)A的任一特征值至少位于其中一个圆盘内; (2)在m个圆盘相互连通(而与其余n-m个圆盘互不连通 ) 的区域内,恰有A的m个特征值(重特征值按重数记). 试讨论A的特征值的分布. 解 由A确定的3个圆盘分别为 所以 315 -22n , 这时,(5.1)式可写成 若a10, 则对充分大的k有 因而有 或取 而特征向量 x1 v(k).。</p><p>8、3.3 实对称矩阵特征值和特征向量,永远可以对角化。,实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。,这类矩阵的最大优点是特征值都是实数，,定理4.12 实对称矩阵的特征值都是实数。,一、 实对称矩阵特征值的性质,证明：设,是 阶实对称矩阵，,是矩阵 的在复数,域上的任一特征值，,属于 的特征向量为,两边取复数共轭得到,则 ，,于是，,(4.11。</p><p>9、第四章 矩阵特征值与特征向量的计算 4.0 问题描述 4.1 乘幂法与反幂法 4.2 雅可比方法 4.0 问题描述 设A为nn矩阵，所谓A的特征问题是求数和非 零向量x，使 Ax x 成立。数叫做A的一个特征值，非零向量x叫做与特 征值对应的特征向量。这个问题等价于求使方程组 (A- I)x=0有非零解的数和相应的非零向量x。 线性代数理论中是通过求解特征多项式det(A- I)=0的零点而得到，然后通过求解退化的方程组(A -I)x=0而得到非零向量x。当矩阵阶数很高时，这种 方法极为困难。目前用数值方法计算矩阵的特征值以 及特征向量比较有效的方法是迭代法和变换法。</p><p>10、基础操作 矩阵4-矩阵的特征值和特征向量一、特征值、特征向量1. 定义 若存在非零向量，使得对于某个，有，则称是的属于特征值的特征向量。2. 定义 被称为线性变换的特征多项式。特征多项式在中的零点就是特征值。取定一个特征值，方程组的非零解就是属于的特征向量的坐标3. 定义 设M、N为两个n阶方阵,若存在数和n维列向量使得,则称为方阵M、N的广义特征值，称是对应于的广义特征向量。二、Mathcad中特征值和特征向量的求解函数(1) eigenvec(M,z) 求矩阵M对应于特征值z的特征向量(2) eigenvals(M) 求矩阵M的特征值(3) eigenvecs(M) 求矩阵M。</p><p>11、2019/3/29,1,第九章 矩阵特征值与特征向量的计算,包括求个别特征值和全部特征值。, 幂法,内容:, 反幂法, Jacobi方法, 原点平移方法, QR算法简介,2019/3/29,2,9.1 求按模最大特征值的幂法,下面讨论求 的幂法。,令,易见，当k充分大时,2019/3/29,3,幂法的算法描述,取,但是考虑到，,我们要对v(k)进行归一化，即规范化幂法！,2019/3/29,4,规范化的幂法：,取,转(1);,(1),(2), 按模最大特征值, 对应的特征向量,注:,2019/3/29,5,幂法的收敛性分析:,(1),(2),幂法对于按模最大的特征值是重根的情形也适用！,2019/3/29,6,9.2 求按模最小特征值的反幂。</p><p>12、第一节 矩阵的特征值与特征向量,第五章,1.概念的引入 2.特征值与特征向量的求法 3.特征值与特征向量的性质 4.矩阵的对角化 5.小结 6.思考与练习 7.背景材料,介绍性实例动力系统与斑点猫头鹰,- 2 -,1990年,在利用或滥用太平洋西北部大面积森林问题上,北方的斑点猫头鹰称为一个争论的焦点。如果采伐原始森林的行为得不到制止的话,猫头鹰将濒临灭绝的危险。,数学生态学家加快了对斑点猫头鹰种群的动力学研究,并建立了种群模型形如,的差分方程。,这种方程被称为离散动力系统。描述系统随时间推移,变化。特征值与特征向量是剖析动力系统演变的。</p><p>13、第7章 矩阵的特征值和特征向量,很多工程计算中，会遇到特征值和特征向量的计算，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等。这些特征值的计算往往意义重大。,特征值：,的根 为矩阵A的特征值,特征向量：满足,的向量v为矩阵A的对于特征值 的特征向量,称为矩阵A的特征多项式,是高次的多项式，它的求根是很困难的。没有数值方法是通过求它的根,来求矩阵的特征值。通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。若要,求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换，“收敛”到对角阵或上（下）三角阵，,从而求。</p>