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方阵的特征值和特征向量 一.基本概念 定义义1. 设设A是一个n阶阶方阵阵，0是一个数字， 是一个非零的n维维向量，若A = 0，则则称 0是方阵阵A的一个特征值值，是A的与特征值值 0对应对应 的一个特征向量。 显然： 0是方阵阵A的一个特征值值 线线性方程组组(A - 0E)X = 0有非零解 行列式|A - 0E| = 0 定义2. 称关于变量的n次多项式 为方阵A的特征多项式 . 称关于未知数的n次代数方程|A - E| = 0 为方阵A的特征方程。 显然， 0是方阵阵A的一个特征值值 0是特征方程|A - E| = 0的一个根。 是A的与特征值值0对应对应 的一个特征向量 是线线性方程组组(A - 0E)X = 0的一个解向量 二. 特征值和特征向量的计算方法 第一步 计算行列式|A - E| 第二步 解方程|A - E| = 0，得方阵A的所有特 征值1, 2, , n 第三步 解诸线性方程组(A - jE)X = 0, j = 1, 2, , n，得到方阵A的所有特征向量 例1. 计算 的特征值和特征向量 解： 显然，方阵A的特征值为：2，i, -i 解方程组 得 这便是与特征值2对应的特征向量. (c 0) 再解方程组 即 x1 = 0, x2 = (1 + i)x3.令 x3 = c, 得到: 这样便求得与特征值i对应的特征向量. (c 0) 由 得： 从而又得到与特征值-i对应的特征向量 例2. 计算 的特征值和特征向量 解： 该方阵的特征值为1，2，2 解方程组: 得方阵与特征值1所对应的特征向量: 解方程组: 得方阵与特征值2所对应的特征向量： 例3. 计算 的特征值和特征向量 解： 该方阵与上一方阵具有相同的特征值2，2，1 解方程 得方阵A与特征值2对应的特征向量: 解方程 得方阵A与特征值1对应的特征向量: 例4. 求 的特征值和特征向量 解： 解方程组 得A的与特征值5对应的特征向量: 解方程组 得到A的与特征值1对应的特征向量: 三. 特征值和特征向量的性质 定理1 设A是一个n阶方阵，则A与AT具有相同 的特征值. 定理2 设A是一个n阶可逆方阵，则是A的一个 特征值 -1是A-1的一个特征值。 定理3 设A是一个n阶方阵，1, 2, , m是它的 m个互不相同的特征值，1, 2, , m是A的 分别与1, 2, , m对应的特征向量，则1, 2, , m线性无关。 证明: 设有一组数1, 2, , m, 满足: 11 + 22 + + mm = 0 由Aj = jj, j = 1, 2, , m,在上式两端依次左 乘以A, A2, , Am-1得到: 从而1, 2, , m皆为为零。 即1, 2, , m线线性无关. 证毕 定理4 设A是一个实对称方阵，则A的所有特征 值皆是实数，并且A的对应于不同特征值的 特征向量是正交的。 证明：设是A的一个特征值，是与之对应的 特征向量，即A
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