量子力学考试题

量子力学考试题Tag内容描述：<p>1、第 1 页 一 选择题 (共48分) 1. (本题 3分)(1817) 所谓“黑体”是指的这样的一种物体，即 (A) 不能反射任何可见光的物体 (B) 不能发射任何电磁辐射的物体 (C) 能够全部吸收外来的任何电磁辐射的物体 (D) 完全不透明的物体 2. (本题 3分)(4403) 绝对黑体是这样一种物体，它 (A) 不能吸收也不能发射任何电磁幅射 (B) 不能反射也不能发射任何电磁辐射 (C) 不能发射但能全部吸收任何电磁辐射 (D) 不能反射但可以全部吸收任何电磁辐射 3. (本题 3分)(4404) 下面四个图中，哪一个正确反映黑体单 色辐出度 MB(T)随 和 T 的变化关系， 已知 T2 T1 。</p><p>2、12 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv，如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（），那么如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即，因此利用非相对论性的电子的能量动量关系式，这样，便有在这里，利用了以及最后，对作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，。</p><p>3、1993年量子力学考研试题一 .设是粒子数算符的本征函数，相应之本征值为，算符和满足对易关系。证明：（其中）和也是的本征函数其相应的本征值分别为和。解：用粒子数算符作用到上，即上式表明是的本征态，相应的本征值为。同样，用粒子数算符作用到上，即上式表明也是的本征态，相应的本征值为。二. （类似2000年第二题）质量为的粒子在一维势阱中运动，若已知该粒子在此势阱中有一个能量的状态，试确定此势阱的宽度。解：对于的情况，三个区域中的波函数分别为其中，在处，利用波函数及其一阶导数连续的条件得到于是有此即能量满足的超越。</p><p>4、1991年量子力学考研试题一. （见1997年第二题）证明：（1） 若一个算符与角动量算符的两个分量对易，则其必与的另一个分量对易；（2） 在与的共同本征态下，与的平均值为零，且当时，测量与的不确定性为最小。证明：（1） 设算符与角动量算符及皆对易，即则同理可知，若算符与角动量算符及皆对易，则算符必与对易；若算符与角动量算符及皆对易，则算符必与对易，于是，问题得证。（2）在与的共同本征态下，与的平均值为由升降算符的修正可知于是有同理可证，算符在下的平均值也未零。在态上，同理可得故有或者写为显然，当时，上式取最小。</p><p>5、1992年量子力学考研试题一. （类似1999年第一题）质量为的粒子，在一维无限深势阱中中运动，若时，粒子处于状态上，其中，为粒子的第个本征态。（1） 求时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求时的波函数及能量的可测值与相应的取值几率解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为（1） 首先，将归一化。由可知，归一化常数为于是，归一化后的波函数为能量的取值几率为能量取其它值的几率皆为零。（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故时的波函数为（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以时的取值几率与时相同。二. 一个电子被禁闭在线谐振子基。</p><p>6、1996年量子力学考研试题一. （见习题选讲6.1）设氢原子处于的状态上，求其能量、角动量平方及角动量分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。解：选为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为其中，量子数的取值范围是利用归一化条件求出归一化常数为主量子数的可能取值只有两个，即，于是角动量量子数的可能取值只有一个，即，故有角动量磁量子数的可能取值有两个，即，于是二. （见习题选讲7.4）已知算符满足证明，并在表象中求出的矩阵表示。解：由题中所给条件可知设算符满足的本征方程为。</p>