三重积分的计算

三重积分的计算Tag内容描述：<p>1、一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分 95 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 柱面坐标、柱面坐标系的坐标面 直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素 柱面坐标系中的三重积分 球面坐标、球面坐标系的坐标面 直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素 球面坐标系中的三重积分 一、利用柱面坐标计算三重积分 设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标 这里规定r、q 、z的变化范围为： 0 r， 0 q 2 ， z x y z O r z P(r, q ) M(x, y, z)。</p><p>2、9-3 三重积分,三重积分的概念 三重积分的计算 (1)利用直角坐标计算三重积分 (2)利用柱面坐标计算三重积分 (3)利用球面坐标计算三重积分,二、三重积分的计算,方法：三重积分 三次积分 利用直角坐标计算三重积 利用柱面坐标计算三重积分 利用球面坐标计算三重积分,(1)利用直角坐标计算三重积分,“穿线法” “先一后二法” （依次计算一个单积分及一个二重积分） “截面法” “先二后一法” （依次计算一个二重积分及一个单积分）,如图，,得,注意,类似的, 若平行于y轴的直线与的边界至多交于两点,可将投影在xoz面上; 若平行于x轴的直线与的边。</p><p>3、1,第三节 三重积分的计算,一、利用直角坐标系,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,二、三重积分换元,13,14,16,18,19,20,21,22,23,24,补充：利用对称性化简三重积分计算,使用对称性时应注意：,25,26,27,28,29,30,（1） 柱面坐标的体积元素,（2） 球面坐标的体积元素,（3） 对称性简化运算,三重积分换元法,柱面坐标,球面坐标,三、小结。</p><p>4、重积分,第三节 三重积分的计算方法,第三节 三重积分的计算法,一.在直角坐标系中的计算法,化成三次积分,仿照二重积分研究其计算方法:,在直角坐标系中,用平行于坐标面的平面将积分区域 分成 n 份(大部分是小长方体),可知:,体积元素,1.设积分区域 的边界曲面与平行于 坐标轴的直线相交不多于两点.,例如,与平行于 z 轴的直线相交不多于两点.,D为 在 xoy 面上的投影域.,上下曲面为:,若D是X型域,先对z后对y再对x的三次积分,同理,可将 投影到 yoz 面或 zox 面上,使三重积分化成其他顺 序的三次积分:,2.设积分区域 的边界曲面与平行于坐标轴的直线。</p><p>5、第三节,3、球面坐标系下,三重积分的计算,第六章,2、柱面坐标系下,1、直角坐标系下,复习、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想, 采用,引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的,物质,求分布在 内的物质的,可得,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,解决方法:,质量 M .,密度函数为,定义. 设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在 上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分相似.,性质:,例如,下列“乘,中值定理.,在有界闭域 上连续,则存在,使得,V 为 的,体积,积和式” 极限,1. 。</p><p>6、当 R3，有 X=(x, y, z) , d = dv,则,三重积分,1. 直角坐标系下三重积分的计算,直角坐标系下，记体积元素,dv=dxdydz,则,三重积分,(1) 化成一个定积分和一个二重积分,设 D 为 在 xy 平面上投影区域.,y=y1(x),b,a,y=y2(x),例1. 计算,其中是由平面x+y+z=1,与三个坐标面所围闭区域.,解： D: 0 y 1x, 0 x 1,例2. 计算,其中 是由抛物,柱面,及平面y=0, z=0,解： D: 0 y , 0 x ,y=y1(x, z),z,0,y=y2(x, z),Dxz,y,x,x=x2(y, z),z,0,x=x1(y, z),Dyz,y,x,例3. 将,化为三次定积分，其中, 是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域.,解：先对 z 积分，将 向 xy 。</p><p>7、当 R3 有X x y z d dv 则 三重积分 1 直角坐标系下三重积分的计算 直角坐标系下 记体积元素 dv dxdydz 则 三重积分 1 1 化成一个定积分和一个二重积分 设D为 在xy平面上投影区域 y y1 x b a y y2 x 2 例1 计算 其中 是由平面x y z 1 与三个坐标面所围闭区域 解 D 0 y 1 x 0 x 1 3 例2 计算 其中 是由抛物 柱面 及平面。</p>