实变函数与泛函分析曹广福答案

实变函数与泛函分析曹广福答案Tag内容描述：<p>1、第一章习题参考解答 1 第一章习题参考解答 3等式 )()( CBACBA 成立的的充要条件是什么？ 解 ： 若 )()( CBACBA ，则 ACBACBAC )()( . 即， AC . 反过来 , 假设 AC , 因为 BCB . 所以 , )( CBABA . 故 , CBA )( )( CBA . 最后证， CBACBA )()( 事实上， )( CBAx , 则 Ax 且 CBx 。若 Cx ，则 CBAx )( ； 若 Cx ，则 Bx ，故 CBABAx )( . 从而 , CBACBA )()( . AACBACBAC )()( . 即 AC . 反过来，若 AC ，则 因为 BCB 所以 )( CBABA 又因为 AC ， 所以 )( CBAC 故 )()( CBACBA 另一方面， AxCBAx )( 且 CBx ，如果 C。</p><p>2、第四章习题参考解答 第四章习题参考解答 1 设是上的可积函数 如果对于上的任意可测子集 有 试证 证明 因为 而 由已知 又因为 所以 故 从而 即 2 设 都是上的非负可测函数 并且对任意常数 都有 试证 从而 证明 我们证。</p><p>3、第一章习题参考解答第一章习题参考解答3等式成立的的充要条件是什么？解： 若，则.即，.反过来, 假设, 因为. 所以, . 故, .最后证，事实上，, 则且。若，则；若，则，故. 从而, . . 即 .反过来，若，则 因为所以 又因为，所以故 另一方面，且，如果则 ；如果因为，所以故. 则 . 从而于是，4对于集合A，定义A的特征函数为，。</p><p>4、第一章习题参考解答 1 第一章习题参考解答第一章习题参考解答 3等式)()(CBACBA成立的的充要条件是什么？ 解解： 若)()(CBACBA，则 ACBACBAC)()(. 即，AC . 反过来, 假设AC , 因为BCB. 所以, )(CBABA. 故, CBA)()(CBA. 最后证，CBACBA)()( 事实上，)(CBAx, 则Ax且CBx。若Cx，则CBAx)(； 若Cx，则Bx，故CBABAx)(. 从而, CBACBA)()(. AACBACBAC)()(. 即 AC . 反过来，若AC ，则 因为BCB所以)(CBABA 又因为AC ， 所以)(CBAC故 )()(CBACBA 另一方面，AxCBAx)(且CBx， 如果Cx则 CBAx)(； 如 果,Cx因 为CBx， 所 以Bx故BAx. 则 CBAx)(. 从 而 CBA。</p><p>5、第一章习题参考解答 1 第一章习题参考解答第一章习题参考解答 3 等式 CBACBA 成立的的充要条件是什么 解解 若 CBACBA 则 ACBACBAC 即 AC 反过来 假设AC 因为BCB 所以 CBABA 故 CBA CBA 最后证 CBACBA 事实上 CBAx 则Ax 且CBx 若Cx 则CBAx 若Cx 则Bx 故CBABAx 从而 CBACBA AACBACBAC 即 AC 反过来。</p><p>6、试卷一 参考答案及评分标准 一 1 C 2 D 3 B 4 A 5 D 二 1 2 3 4 充要 5 成一有界数集 三 1 错误 2分 例如 设是上有理点全体 则和都在中稠密 5分 2 错误 2分 例如 设是集 则 但c 故其为不可数集 5分 3 错误。</p><p>7、 1.?A (B C) = (A B) (A C). ?x (A(B C).?x A,?x AB,x AC,?x (AB)(AC). ?x B C,?x A B?x A C,?x (A B) (A C),? A (B C) (A B) (A C). 。</p><p>8、试卷一： 得 分一、单项选择题（3分5=15分）1、1、下列各式正确的是（ ）（A）; （B）; （C）; （D）;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ）（A） c (B) (C) (D) 3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测。</p><p>9、试卷一： 得 分一、单项选择题（3分5=15分）1、1、下列各式正确的是（ ）（A）; （B）; （C）; （D）;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ）（A） c (B) (C) (D) 3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测。</p><p>10、试卷一： 得 分一、单项选择题（3分5=15分）1、1、下列各式正确的是（ ）（A）; （B）; （C）; （D）;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ）（A） c (B) (C) (D) 3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测。</p><p>11、试卷一 得 分 一 单项选择题 3分5 15分 1 1 下列各式正确的是 A B C D 2 设P为Cantor集 则下列各式不成立的是 A c B C D 3 下列说法不正确的是 A 凡外侧度为零的集合都可测 B 可测集的任何子集都可测 C 开集和闭集都。</p><p>12、试卷一： 得 分一、单项选择题（3分5=15分）1、1、下列各式正确的是（ ）（A）; （B）; （C）; （D）;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ）（A） c (B) (C) (D) 3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A）若, 则 (B) 是可测函数（C）是可测函数;（D）若,则可测5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数（C）在上L可积 (D) 得 分二。</p><p>13、第一章可测函数 1.1第四章可测函数练习题 习题1.1.1证明：f(x)在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r,集Ef r可测.如果集Ef = r可测，问f(x)是否可测？ 证明分析：根据可测函数的定义t R,Ef t为可测集， 则函数f为可测 函数.由题意知道，对于有理数r,集Ef r可测,那么问题就是如何将已知的有 理数转化到未知的实数上。</p><p>14、第七章习题解答1、设为一度量空间，令 ，问的闭包是否等于。解答：在一般度量空间中不成立，例如：取的度量子空间，则中的开球的的闭包是，而2、设是区间上无限次可微函数全体，定义，证明：按构成度量空间。证明：（1）显然且有，特别当时有有。（2）由函数在上单调增加，从而对有即三角不等式成立。3、设是度量空间中的闭集，证明必有一列开集包含，而且。证明：设为度量空间中的闭集，作集： ，为开集，从而只要证；可实上，由于任意正整数，有，故：。另一方面，对任意的，有 ，令 有。所以（因为闭集）。这就是说， 综上所证有：。4。</p><p>15、 ? 1.?E?mE 0,?mE?c,?E? ?E1,?mE1= c. ? a = inf xE x,b = sup xE x,?E a,b.?Ex= a,x E,a x b,f(x) = mEx? a,b?x 0? | f(x + x) f。</p>