泰勒公式课件

泰勒公式课件Tag内容描述：<p>1、第六节,一、泰勒公式,二、泰勒级数,幂级数在函数逼近中的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十章,三、幂级数在近似计算中的应用,本节内容:,对于一些较为复杂的计算，为了便于研究，我们往往希望用一些简单的函数来近似表达某函数.我们常用多项式来近似表达函数，称为用多项式来逼近函数。,在微分应用中，我们已经知道，当变量的绝对值很小时，有如下的近似计算：,显然，在 x=0处，这些多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值。,第六节 目录 上页 下页 返回 结束,但是这种表达式还存在不足之处就是精度不高。</p><p>2、二、几个初等函数的麦克劳林公式,2.3.3,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用, 应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,泰勒 ( Taylor )公式,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式 :,x 的一次多项式,不足:,问题:,1、精确度不高；,2、误差不能估计.,要求:,故,则,2. 误差估计,令,(称为余项) ,则有,公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .,泰勒中值定理 :,阶的导数 ,时, 有,其中,则当,公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .,在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为。</p><p>3、第三节, 应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,泰勒 ( Taylor )公式,第三章,一、问题的提出,特点:,以直代曲,x 的一次多项式,问题:,需要解决的问题,如何提高精度 ?,如何估计误差 ?,分析:,2.若有相同的切线,3.若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.若在 点相交,多项式逼近,1. 求 n 次近似多项式,要求:,故,令,则,2. 余项估计,令,(称为余项) ,则有,泰勒(Taylor)中值定理,阶的导数 ,时, 有,其中,则当,皮亚诺型余项,两种余项形式：,拉格朗日型余项,因此，泰勒中值定理是拉格郎日中值定理的推广.,其中,泰勒公式变成较简单的形式，即所谓的。</p><p>4、4 泰勒公式与极值问题,首页,一、高阶偏导数,设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导函数仍存在偏导数，,则称它们是,z = f ( x , y )的二阶偏导数 .,按求导顺序不同, 有下列,四个二阶偏导数:,首页,类似可以定义更高阶的偏导数.,z = f (x , y) 的三阶偏导数共有八 ( 23 ) 种情形：,首页,又如 z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 ,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,再关于 y 的一阶偏导数为,首页,例1 求函数,解,的二阶偏导数及,首页,注意 从上面两个例子看到，有,但这一结论并不总成立.,首页,例如,二者不等,首页。</p><p>5、第三节,泰勒公式,第三章,二 、麦克劳林（Maclaurin）公式,三 、泰勒公式的应用,一、泰勒（Taylor）公式,一、泰勒(Taylor)公式,1. 泰勒公式的建立,回顾：,特点:,以直代曲,设 f (x)在 x0 处可导，则,x 的一次多项式,不足:,1 精确度不高,2 难以估计误差,需要解决的问题:,2 给出误差：,的具体估计式.,1,观察：,有,相交,相切,pn(x) 与 f (x) 在x0 处相同的导数的阶数越高，它们就有可能越接近？,pn(x) 的确定:,要求:,求系数,寻求n次近似多项式：,带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式,阶的导数,有,则对,2. 带有皮亚诺型余项的n阶泰勒(Taylor)公式,定。</p><p>6、第九节 二元函数的Taylor公式,一元函数的泰勒公式：,问题：,能否用多元多项式来逼近一个给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小呢？,一、二元函数的泰勒公式,k,k,其中记号,一般地,记号,上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.,在 0，1 上，由 Langrage 中值定理， 存在（0，1），使得,证,引入函数,显然,证,引入函数,显然,由 的定义及多元复合函数的求导法则,可得,由归纳假设，得,利用一元函数的麦克劳林公式，得,其中,其中,例1,解,其中,例2,解,二、极值充分条件的证明,利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理2,证,依二元函数的泰勒公。</p><p>7、第三节 泰勒展式,第四章 解析函数的幂级数表示法,定理4.1：,定理4.1设函数f(z)在圆盘在,内解析，那么在U内，,定理4.1的证明：,证明：在U内任取一点z。以z0为心，在U内作一个圆C，使z属于其内区域。我们有,由于当 时，,又因为,定理4.1的证明：,所以,上式的级数当,时一致收敛。把上面的展开式代入积分中，然后利用一致收敛级数的性质，得,定理4.1的证明：,其中,由于z是U内任意一点，定理的结论成立。,定理4.2：,定理4.2、函数f(z)在一点z0解析的必要与充分条件是：它在的某个邻域内有定理4.1中的幂级数展式。 注解1、在定理4.1中，f(z)在U内。</p><p>8、1 高等数学 第十七讲 2 二 几个初等函数的麦克劳林公式 第八节 一 泰勒公式的建立 三 泰勒公式的应用 应用 用多项式近似表示函数 理论分析 近似计算 泰勒 Taylor 公式 第二章 3 特点 一 泰勒公式的建立 以直代曲 在微分应用中已知近似公式 需要解决的问题 如何提高精度 如何估计误差 x的一次多项式 若 是非多项式函数 问是否可用一个n次多项式 来近似表示 4 由 误差 即为一次多项。</p><p>9、第七节泰勒 Taylor 一 问题的提出 二 泰勒 Taylor 中值定理 三 简单的应用 一 问题的提出 如下图 f x 在x x0处的一次近似式 一次近似的不足 问题 1 精确度不高 2 误差不能估计 1 Pn和Rn的确定 分析 2 若有相同的切线 3 若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1 若在点相交 2 余项估计 令 称为余项 则有 二 泰勒 Taylor 中值定理 称为在处关于的n阶泰勒多。</p><p>10、1 第三章微分中值定理与导数的应用第二节泰勒公式 内容提要 1 泰勒公式 2 常用函数的泰勒公式 2 问题提出 3 问题 皮亚诺余项 4 5 基本定理 定理 taylor公式 6 麦克劳林公式 称作麦克劳林公式 常见函数的麦克劳林公式 7 8 9 10 泰勒公式的应用 11 12 13 14 15。</p><p>11、精选,1,主讲教师: 王升瑞,高等数学,第十七讲,精选,2,二、几个初等函数的麦克劳林公式,第八节,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用, 应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,泰勒 ( Taylor )公式,第二章,精选,3,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式 :,需要解决的问题,如何提高精度 ?,如何估计误差 ?,x 的一次多项式,若。</p><p>12、,第七节 泰勒(Taylor)公式,一、问题的提出,二、泰勒(Taylor)中值定理,三、简单的应用,.,一、问题的提出,（如下图）,f(x)在 x=x0 处的 一次近似式,.,.,一次近似的不足:,问题:,1、精确度不高；,2、误差不能估计.,.,1.Pn和Rn的确定,分析:,2.若有相同的切线,3.若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.若在 点相交,.,.,2. 余项估计。</p><p>13、第三章 微分中值定理与导数的应用 第二节 泰勒公式,1,内容提要,1.泰勒公式,2.常用函数的泰勒公式,2,问题提出,3,问题：,皮亚诺余项,4,5,基本定理,定理(taylor公式）,6,麦克劳林公式,称作麦克劳林公式,常见函数的麦克劳林公式,7,8,9,10,泰勒公式的应用,11,12,13,14,15。</p>