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文档简介

,二、几个初等函数的麦克劳林公式,2.3.3,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用, 应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,泰勒 ( Taylor )公式,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式 :,x 的一次多项式,不足:,问题:,1、精确度不高；,2、误差不能估计.,要求:,故,则,2. 误差估计,令,(称为余项) ,则有,公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .,泰勒中值定理 :,阶的导数 ,时, 有,其中,则当,公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .,在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为,注意到,特例:,(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为,(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为,就是拉格朗日中值定理,可见,误差,称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,由此得近似公式,二、几个常见函数的麦克劳林公式,其中,其中,类似可得,其中,其中,已知,其中,类似可得,三、泰勒公式的应用,1. 在近似计算中的应用,误差,M 为,在包含 0 , x 的某区间上的上界.,已知,例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过,解:,令 x = 1 , 得,由于,欲使,由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此,的麦克劳林公式为,2. 利用泰勒公式求极限,解,3. 利用泰勒公式证明不等式,例3. 证明,证:,内容小结,1. 泰勒公式,其中余项,当,时为麦克劳林公式 .,2. 常用函数的麦克劳林公式,3. 泰勒公式的应用,(1) 近似计算,(3) 其他应用,求极限 , 证明不等式 等.,(2) 利用多项式逼近函数 ,泰勒多项式逼近,泰勒多项式逼近,泰勒 (1685 1731),英国数学家,他早期是牛顿学派最,优秀的代表人物之一 ,重要著作有:,正的和反的增量方法(1715),线性透视论(1719),他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 .,他是有限差分理论的奠基人 .,麦克劳林 (1698 1746),英国数学家,著作有:,流数论(1742),有机几何学(1720),代数论(1742),在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的,麦克劳林级数 .,由题设对,证:,备用题 1.,有,且,下式减上式 , 得,令,两边同乘 n !,= 整数 +,假设 e 为有理数,( p , q 为正整数) ,则当 时,
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