梯度与方向导数

梯度与方向导数Tag内容描述：<p>1、第八章 多元函数微分学 第七节 上页 下页 返回 结束 方向导数与梯度 v 方向导数的定义与计算 v 梯度的概念与计算 引例. 设有一矩形金属板， 分析：在(3,2)点处，沿不同方向温度的变化率不 同， 如何确定这个方向？ 利用方向导数！ 上页 下页 返回 结束 凉快的地点？ 在其上坐标原点处有 一火源， 它使金属板发热 假定板上任意一点处的温 度与该点到原点的距离成反比 在点(3,2)处有一只 问这只蚂蚁沿什么方向爬行才能最快到达较 蚂蚁应沿由热变冷变化最快的方向（梯度方向） 爬行 蚂蚁， 一、方向导数的定义与计算 (如图). 上页 下页 返回 。</p><p>2、1,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即负梯度方向）爬行,一、问题的提出,第六节 方向导数与梯度,2,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,二、方向导数的定义,（如图）,3,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,4,记为,5,(2)方向导数与偏导数的关系,6,7,8,证明,由于函数可微，则增量可表示。</p><p>3、2,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,一、问题的提出,3,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,二、方向导数的定义,（如图）,4,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,5,记为,6,7,8,9,证明,由于函数可微，则增量可表示为,两边同除以,得到,10,故有方向导数,11,解,12,解,由。</p><p>4、第六节 方向导数与梯度,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,一、问题的提出,二、方向导数的定义,定义,即:,解,解,由方向导数的计算公式知,故,推广可得三元函数方向导数的定义,解,令,故,方向余弦为,故,三、梯度的概念,结论,在几何上 表示一个曲面,曲面被平面 所截得,所。</p><p>5、一、方向导数,讨论函数 在一点P0沿某一方向的变化率问题,8.7 方向导数与梯度,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,l 的参数方程为:,是否存在?,且,P(x0+tcos, y0+tsin)为 l 上的另一点, 且PU(P).,定义: 如果函数z=f(x, y)在点P(x0, y0)处的增量 f(x0+tcos, y0+tsin)f(x0, y0) 与P到P(x0+tcos, y0+tsin)的距离 t 之比, 当P沿着 l 趋向与P(即 t 0+)时的极限存在, 则称此极限为函数z=f(x, y)在点P(x0, y0)处沿方向 l 的方向导数. 记为:,依定义, 函数z=f(x, y)在点P沿着x轴正向 =(1, 0), y轴正向 =(0, 1)的方向导数分别为 fx, fy. 沿着x轴负向, y轴负。</p><p>6、第九章,第七节,一、方向导数,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,一、方向导数,定义: 若函数,则称,为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.,在点,处,沿方向 l (方向角为,) 存在下列极限:,记作,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数,且有,在点 P 可微 ,得,故,对于二元函数,为, ) 的方向导数为,特别:, 当 l 与 x 轴同向, 当 l 与 x 轴反向,向角,例1. 求函数,在点 P(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向导数 .,例2. 求函数,在点P(2, 3)沿曲线,朝 x 增大方向的方向导数.,解: 将已知曲线用参数方程表示为,它在点 P 的切向量为,。</p><p>7、17.3 方向导数与梯度,17.3.1方向导数 17.3.2梯度,17.3.1方向导数,多元函数在一点的偏导数，表示此函数过该 点沿着平行于坐标轴方向的变化率。,问题：,点沿任意方向的变化率？,这就是所谓的方向导数。,1.方向导数的定义,记,问题：,(1).方向导数的计算？,(2).方向导数与可微、偏导数之间的关系？,2. 方向导数的计算,定义,定理1,由定理1,所以,可微是方向 导数存在的充分 条件 , 但不必要 .,教材P.126 例2,17.3.2 梯度,1.梯度的定义,记作：,方向上的投影.,2. 梯度的几何意义,对可微函数，梯度方向是函数变化最快的方向。,这是因为,3. 梯度的运。</p><p>8、第七节 方向导数与梯度,一、方向导数的定义 二、梯度的概念 三、小结,讨论函数 z = f (x, y) 在一点 P 沿某一方向的变化率问题,一、方向导数的定义,定义,记为,解,方向导数,推广可得三元函数方向导数的定义,二、梯度的概念,结论,在几何上 表示一个曲面,曲面被平面 所截得,所得曲线在xoy面上投影如图,等高线,梯度为等高线上的法向量,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与 取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的 最大值.,梯度的概念可以推广到三元函数,解,由梯度计算公式得,故,1、方向导数的概念,2、梯度的概念,3、方向导数。</p><p>9、方向导数与梯度,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,一、方向导数的定义,是否存在？,记为,方向导数的几何意义,与曲面 z = f ( x , y ) 所交的曲线记为 C,表示C 的割线向量,割线转化为切线,上式极限存在就意味着当点,曲线C在点 P0 有唯一的切线,证明,由于函数可微，则。</p><p>10、第七章 多元函数微分学 第六节 方向导数与梯度,理学院数学系 主讲教师：付一平,讨论函数 在一点P0沿某一方向的变化率问题,一、方向导数,（如图）,P0,P,证,解,推广可得三元函数方向导数的定义,二、梯度的概念,结论,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.,梯度的概念可以推广到三元函数,解,由梯度计算公式得,故,1、方向导数的概念,2、梯度的概念,3、方向导数与梯度的关系,（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）,（注意梯度是一个向量）,四、小结,思考题,思考题解答。</p><p>11、6.8.4 方向导数与梯度,Directional Derivatives and Gradient Vectors,方向导数,Directional derivatives,讨论函数沿某个方向的变化率,：沿方向 的平均变化率,沿方向 的增量,函数,在点,沿方向,的方向导数directional derivative,沿方向,方向导数与偏导数,若偏导数 存在,则,其中,则,其中,因此，在一点处沿 x 轴或 y 轴方向的方向导数存在，也不能保证该点的偏导数存在。,方向导数是单向导数（因为 ）,而偏导数是双向导数（因为 可正负 ）,类似于一元函数的单侧导数,Example,求函数,在原点沿任何方向的方向导数,解,设方向向量为,即,函数,(圆。</p><p>12、第一节 预备知识 第二节 极限与连续 第三节 偏导数与全微分 第四节 微分运算法则 第五节 方向导数与梯度 第六节 多元函数微分学的几何应用 第七节 多元函数的Taylor公式与极值 *第八节 n元m维向量值函数的微分法 第九节 复变函数的导数与解析函数,第五章 多元函数微分法及其应用,l, y, x,z,P,P0,z = f (x,y),Q,M,N,分析：,三.方向导数,定义5.1,1. 方向导数的定义,2. 梯度的定义,定理5.1,例1。</p><p>13、方向导数与梯度,第七节,一、方向导数,即函数在一点 P 处沿某一方向的变化率,1. 方向导数的定义,当 沿着 趋于 时，,则称其为,方向导数，,其中,由定义可知，,2. 方向导数的计算,定理,解,由方向导数的计算公式知,故,解,解,解,令,故,方向余弦为,故,在此处沿 方向的方向导数 (1991),的指向外侧的法向量，求函数,注意,证,函数在点P 可微是函数在点P 沿任意方向的,方向导数存在的充分条件，而非必要条件,二、梯度,在有关函数的方向导数问题的讨论中，,我们常常需要解决的问题是：,为此我们引入梯度的概念,即,所以方向导数是梯度在射线 l 上的投影。</p><p>14、6.8.4 方向导数与梯度,Directional Derivatives and Gradient Vectors,方向导数,Directional derivatives,讨论函数沿某个方向的变化率,：沿方向 的平均变化率,沿方向 的增量,函数,在点,沿方向,的方向导数：,沿方向,方向导数与偏导数,若偏导数 存在,则,其中,则,其中,因此，在一点处沿 x 轴或 y 轴方向的方向导数存在，也不能保证该点的偏导数存在。,方向导数是单向导数（因为 ）,而偏导数是双向导数（因为 可正负 ）,类似于一元函数的单侧导数,例,求函数,在原点沿任何方向的方向导数,解,设方向向量为,即,函数,(圆锥面),在原点沿任何方向的。</p><p>15、第七节 方向导数与梯度,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,一、方向导数,定义,设函数,在点,的某邻域,内,有定义,为从,引出的有向线段,为,上任一点,表示P与 两点,间的距离,若极限,存在,则称此极限为,在点 沿 的方向的方向,导数.记作,即,若,的方向与x轴正向的夹角为,则,的方向与,X轴正向一致,即取,函数在 处沿 方向的,方向导数为,同理,沿x轴负向的方向导数为,类似可得沿y轴正,负方向的方向导数.,例1,在 处沿任意方向的方向,导数存,但偏导数不存在.,证:,证明,设方向,但,不存在.,同理,不存在.,说明函数在某点沿任意方向的方向导数存在不。</p><p>16、9-7 方向导数与梯度,一、方向导数 二、梯度,一、方向导数,二、梯度,二元函数情形类似,示例解释： 大气沿压强p减小最快的方向运动，即沿着-gradp的方向流动； 热量沿温度T下降最快的方向即-gradT的方向传导；,若z=f（x，y）表示某地形的高度，则沿着-gradf的方向坡度最陡，雨水落地后必然沿-gradf的方向流动。</p><p>17、第六节 方向导数与梯度,一、方向导数,二、梯度,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,问题的提出,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,一、方向导数,（如图）,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,解,解,由方向导数的计算公式知,故,推广可得三元函数方向导数的定义,二、。</p><p>18、讨论函数 在一点P 沿某一方向的变化率问题,一、方向导数,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,例1,.,证明,由于函数可微，则增量可表示为,定理,故有方向导数,解,解,由方向导数的计算公式知,例2,故,方向导数可以推广到三元函数,解,令,故,方向余弦为,故,二、梯度,解:,由方向导数公式知,结论,函数在一点处的梯度是这样一个向量,(1)其方向与取得最大方向导数的方向一致,(2)其模是方向导数的最大值,在几何上 表示一个曲面,曲面被平面 所截得,所得曲线在xoy面上投影如图,等高线,梯度为等高线上的法向量,梯度与等高线的关系：, 结论, 类似于二元函数，此。</p><p>19、5 方向导数与梯度,方向导数的定义 梯度的概念,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,一、问题的提出,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,二、方向导数的定义,（如图）,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,记为,证明,由于函数可微，则增量可表示为,两边同除以,得到,故有。</p><p>20、方向导数与梯度,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,一、方向导数的定义,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,记为,方向导数的几何意义,过直线,作平行于 z 轴的平面,与曲面 z = f ( x , y ) 所交的曲线记为 C,表示C 的割线向量,即,。</p>