同济大学高等数学第六版

同济大学高等数学第六版Tag内容描述：<p>1、第一章综合测试题一、填空题1、函数的定义域为 .2、设, 则 .3、已知在连续，则 .4、若，则 .5、函数的连续区间为 .二、选择题1、 设是奇函数，是偶函数， 则（ ）为奇函数. （A） （B） （C） （D）2、 设在内单调有界， 为数列，则下列命题正确的是（ ）. （A）若收敛，则收敛 （B）若单调，则收敛 （C）若收敛，则收敛 （D）若单调，则收敛 3、 设 则（ ）. （A）在点，都连续 （B）在点，都间断（C）在点连续，在点间断 （D）在点间断，在点连续4、 设，则下列断言正确的是（ ）. （A）若发散，则必发散 （B）若无界，则必有界（C）若。</p><p>2、三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 洛必达法则 第三章 微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 本节研究: 洛必达法则 洛必达 目录 上页 下页 返回 结束 一、 存在 (或为 ) 定理 1. 型未定式 (洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 在 x , a 之间) 证: 无妨假设 在指出的邻域内任取 则在以 x, a 为端点的区间上满足柯 故 定理条件: 西定理条件, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 存在 (或为 ) 推论1. 定理 1 中 换为 之一, 推论 2. 若 理1。</p><p>3、习题9-21. 计算下列二重积分: (1), 其中D=(x, y)| |x|1, |y|1;解 积分区域可表示为D: -1x1, -1y1. 于是. (2), 其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域: 解 积分区域可表示为D: 0x2, 0y2-x. 于是. (3), 其中D=(x, y)| 0x1, 0y1;解 . (4), 其中D是顶点分别为(0, 0), (p, 0), 和(p, p)的三角形闭区域. 解 积分区域可表示为D: 0xp, 0yx. 于是, .。</p><p>4、一、一元向量值函数及其导数,引例: 已知空间曲线 的参数方程:, 的向量方程,对 上的动点M ,即 是,此方程确定映射,称此映射为一元向量,的终点M,的轨迹 ,此轨迹称为向量值函数的终端曲线 .,值函数.,定义: 给定数集 D R , 称映射,为一元向量,值函数（简称向量值函数）, 记为,向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、,连续和导数密切相关,进行讨论.,极限：,连续：,导数：,因此下面仅以 n = 3 的情形为代表,向量值函数的导数运算法则:,是可导函数, 则,c 是任一常数,向量值函数导数的几何意义:,在 R3中, 设,的终端曲线为 ,表示终端曲线在。</p><p>5、Differential Equation,微分方程,解微分方程 solve a differential equation,常微分方程 ordinary differential equation (ODE),偏微分方程 partial differential equation (PDE),微分方程的阶 order of a differential equation,微分方程的解 solution of a differential equation,微分方程的通解 general solution of a differential equation,初始条件 initial condition,微分方程的特解 particular solution of a differential equation,初值问题 initial value problem,微分方程的积分曲线 integral curve of a differential equatio。</p><p>6、4.3 分部积分法,分部积分公式 设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数. 那么, (uv)uvuv, 移项得 uv(uv)uv. 对这个等式两边求不定积分, 得,分部积分过程,这两个公式称为分部积分公式.,1) v 容易求得 ;,容易计算 .,例1,x sin xcos xC .,例2,例3,x2ex2xex2exC,ex(x22x2 )C.,分部积分过程：,例4,例5,分部积分过程：,例6,分部积分过程：,解,因为,例7,分部积分过程：,分部积分过程：,解,因为,例8,解,当n1时, 用分部积分法, 有,例9,即,解法一,于是,解法二,例10,令xt2, 则dx2tdt.,注：,在后者中u(x)不是以v(x)为中间变量的复合函数 故用分部积分法,在前者。</p><p>7、4. 2 换元积分法,一、第一类换元法,二、第二类换元法,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,设,可导,则有,一、第一类换元法,定理1(换元积分公式),设f(u)具有原函数, 且uj(x)可导, 则有换元公式,(也称配元法, 凑微分法),一、第一类换元法,定理1(换元积分公式),设f(u)具有原函数, 且uj(x)可导, 则有换元公式,设f(u)具有原函数F(u) 则,换元积分过程,例1,例2,例3,例4,例5,积分公式：,例6,积分公式：,例7,当a0时,例8,积分公式：,例9,例10,含三角函数的积分：,例11,例12,例13,例14,例15,例16,积分公式：,例17,ln|sec xtan x|C,积分公式：,常用的。</p><p>8、第二节 洛必达法则,一、 型、 型未定式,定义,函数 f (x)、 F (x)都趋于零,例如,或都趋于无穷大，,型未定式。,洛必达法则1：,证 设,则有,例1,解,=2,洛必达法则1：,都是无穷大,洛必达法则2：,例2,解,=0,=0,练习题,二、其它未定式,步骤:,例5,解,例6,解,步骤:,步骤:,例7,解,例8,解,例9,解,例10,解,-1,0,三、小结。</p><p>9、习题课,一、 导数和微分的概念及应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 导数和微分的求法,导数与微分,第二章,一、 导数和微分的概念及应用,导数 :,当,时,为右导数,当,时,为左导数,微分 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,关系 :,可导,可微,( 思考 P124 题1 ),应用 :,(1) 利用导数定义解决的问题,(3)微分在近似计算与误差估计中的应用,(2)用导数定义求极限,1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则,其他求导公式都可由它们及求导法则推出;,2) 求分段函数在分界点处的导数 ,及某些特殊,函数在特殊点处的导数;,3) 由导数定义证明一些命题.,。</p><p>10、第一节 中值定理,第三章 中值定理与导数的应用,预备知识,一、罗尔(Rolle)定理,(几何解释）,罗尔定理,若函数 f(x)满足,证：,证,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,一个小于1 的正实根,例1 证明方程,有且仅有,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立。,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,(几何解释),拉格朗日定理,若函数 f (x) 满足,拉格朗日中值公式,推论,若函数 f(x) 在闭区间a,b上连续,在(a,b)内,恒有,则函数 f(x) 在a,b上是一个常数.,故 f(x) 是一个常数, f(x) 在x1,x2连续，在(x1,x2)可导，,例2,证,例3,证:,由上式得, f(。</p><p>11、2019/6/29,函数与极限,2,一、基本概念,1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,2019/6/29,函数与极限,3,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,2019/6/29,函数与极限,4,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,2019/6/29,函数与极限,5,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称。</p><p>12、第五节 函数的微分,实例:正方形金属薄片,边长由x0变到,一般的函数y=f(x)的增量,？,则面积增加,一、微分的定义,定义 设,则称函数y=f(x)在点x0可微，并称,若,为函数y=f(x)在点x0相应于 的微分，记为：,问题：若函数y=f(x)在点x0可微，则A=？,y=f(x)在x0可微,若y=f(x)在x0可微，则,则y=f(x)在x0可导，且,定理 若y=f(x)在x0可微，则y=f(x)在x0可导， 且,若y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都可微， 称y=f(x)开区间(a,b)内可微，其微分为：,例1 求函数 y=x3, 当 x=2, x=0.02时的微分.,解,y=f(x)在x可微,当x为自变量时：,例2 设 求dy,解,y=f(x)在点x。</p><p>13、第十节 闭区间上连续函数的性质,定理1(最值定理),设函数 f(x)闭区间a,b上连续,则 f(x)在a,b上一定有最大值和最小值.,即,一、有界性与最大值最小值定理,使得,有,推论(有界性定理),若 f(x)闭区间a,b上连续,则 f(x)在a,b上有界.,注意: 若区间是开区间, 定理不一定成立;,定理2 (零点定理),且f(a)f(b)0,则至少存在一点(a,b),使f()=0,设函数f(x)在闭区间a,b上连续,二、零点定理与介值定理,例1 证明方程 在区间(0,1)内,证 令,由零点定理,至少有一个实根。,则f(x)在0,1上连续。,使,即,故方程 在区间(0,1)内,至少有一个实根。,例2 设函数 f(x)闭区。</p><p>14、引 言,一、什么是高等数学 ?,初等数学, 研究对象为常量,以静止观点研究问题.,高等数学, 研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.,数学中的转折点是笛卡儿的变数.,有了变数 , 运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.,恩格斯,笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束,1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续,2. 微积分学: 一元微积分,(上册),(下册),3. 向量代数与空间解析几何,4. 无穷级数,5. 常微分方程,主要内容,多元微积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、如何学习高等数学 ?。</p><p>15、第十节 闭区间上连续函数的性质,定理1(最值定理),设函数 f(x)闭区间a,b上连续,则 f(x)在a,b上一定有最大值和最小值.,即,一、有界性与最大值最小值定理,使得,有,推论(有界性定理),若 f(x)闭区间a,b上连续,则 f(x)在a,b上有界.,注意: 若区间是开区间, 定理不一定成立;,定理2 (零点定理),且f(a)f(b)0,则至少存在一点(a,b),使f()=0,设函数f(x)在闭区间a,b上连续,二、零点定理与介值定理,例1 证明方程 在区间(0,1)内,证 令,由零点定理,至少有一个实根。,则f(x)在0,1上连续。,使,即,故方程 在区间(0,1)内,至少有一个实根。,例2 设函数 f(x)闭区。</p><p>16、常系数非齐次线性微分方程,机动目录上页下页返回结束,第八节,一、,二、,第八章,二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式。</p>