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,一、一元向量值函数及其导数,引例: 已知空间曲线 的参数方程:, 的向量方程,对 上的动点M ,即 是,此方程确定映射,称此映射为一元向量,的终点M,的轨迹 ,此轨迹称为向量值函数的终端曲线 .,值函数.,定义: 给定数集 D R , 称映射,为一元向量,值函数（简称向量值函数）, 记为,向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、,连续和导数密切相关,进行讨论.,极限：,连续：,导数：,因此下面仅以 n = 3 的情形为代表,向量值函数的导数运算法则:,是可导函数, 则,c 是任一常数,向量值函数导数的几何意义:,在 R3中, 设,的终端曲线为 ,表示终端曲线在t0处的,切向量,其指向与t 的增长方,向一致., 则,例. 设空间曲线 的向量方程为,求曲线 上对应于,解:,的点处的单位切向量.,故所求单位切向量为,其方向与 t 的增长方向一致,另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为,= 6,7,设空间曲线的方程,(1)式中的三个函数均可导.,二、空间曲线的切线与法平面,8,考察割线趋近于极限位置切线的过程,上式分母同除以,割线 的方程为,9,曲线在M处的切线方程,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.,法平面：过M点且与切线垂直的平面.,10,解,切线方程,法平面方程,11,1.空间曲线方程为,法平面方程为,特殊地：,12,2.空间曲线方程为,切线方程为,法平面方程为,13,14,所求切线方程为,法平面方程为,15,16,设曲面方程为,曲线在M处的切向量,二、曲面的切平面与法线,17,在光滑曲面 上通过点 M 的任何曲线在点 M 处的切线都在同一平面上.,命题:,事实上, 因,两边对 t 求导,18,表明这些切线都在以,的同一平面上 ，,从而切平面存在 .,19,曲面 在点 M 的法向量,法线方程,切平面方程,20,解,令,切平面方程,法线方程,21,特殊地：空间曲面方程为,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,22,其中,则法向量的方向余弦为,23,解,切平面方程为,法线方程为,24,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,25,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),26,使曲面 与球面,例7. 确定正数,在,解: 二曲面在 M 点的法向量分别为,二曲面在点 M 相切, 则有,又点 M 在球面上,于是有,相切.,27,空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）,（求法向量的方向余弦时注意符号）,三、小结,28,29,思
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