微分及其应用

微分及其应用Tag内容描述：<p>1、第九章 微分方程及其应用9.1 微分方程及其相关概念所谓微分方程，就是含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程。例如，以下各式都是微分方程： . . .只含一个自变量的微分方程,称为常微分方程,自变量多于一个的称为偏微分方程。本章只研究常微分方程，因而以后各节提到微分方程时均指常微分方程。微分方程中所含有的未知函数最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶。例如，、为一阶方程，、为二阶方程，而为n阶方程。微分方程中可以不含有自变量或未知函数，但不能不含有导数，否则就不成为微分方程。微分方程与普。</p><p>2、第二章 导数微分及其应用,2019年5月14日星期二,2,微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理 论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学 的发展。 微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发 展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷 竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的天下篇中也有 “ 一尺之锤，日取其半，万世不竭 ” 的极限思想，公元 263 年，刘徽为九间算术作注时提出了 “ 割圆术 ” ，用正多 边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。 积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的。</p><p>3、二、微分运算法则,三、微分在近似计算中的应用,第五节,一、微分的概念,微分的概念及其应用,一、微分的定义,引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,变到,边长由,其,再如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,定义,由定义知:,定理,证,(1) 必要性,(2) 充分性,例1,解,导数也称为“微商”.,二、微分的几何意义,M,N,）,几何意义:(如图),以直代曲,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则,求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,1.基本。</p><p>4、二、微分的几何意义,四、微分在近似计算中的应用,三、微分的运算法则,第五节,一、微分的概念,函数的微分,第二章,一、微分的概念,引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,的微分,定义: 若函数,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理: 函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,定理 : 函数,证: “必要性”,已知,在点 可微 ,则,故,在点 的可导,且,在点 可微的充要条件是,在点。</p><p>5、第三节 函数的微分及其应用,一、微分概念,二、微分的几何意义,第二章 导数与微分,三、微分的基本公式及其运算法则,四、微分在近似计算中的应用,一、微分概念,先来看一个例子，边长为 x 的正方形，,其面积增加多少？,面积的增加部分记作 S，,则,S = (x + x )2 - x2,= 2xx + (x) 2，,当 x 很小时，例如 x = 1， x = 0.01 ，则 2xx = 0.02，,设正方形的面积为 S，,当边长增加 x 时，,而另一部分 x2 = 0.000 1，,当 x 越小时，,x2 部分就比 2xx小的更多.,因此，如果要取 S 的近似值时，,显然 2xx 是 S 的一个很好的近似，,2xx 就称为 S = x2 。</p><p>6、第三节 函数的微分及应用,一、问题的提出 二、微分的定义 三、可微的条件 四、微分的几何意义 五、*微分形式的不变性 六、*微分在近似计算中的应用 七、小结,一、问题的提出近似计算问题,实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量。,再如,既容易计算又是较好的近似值,问题：是否所有函数的改变量都有这样的线性函数 (改变量的线性主要部分)？如果有，它是什么？如 何求？,二、微分的定义,定义,(微分的实质),三、可微的条件,定理,证,(1) 必要性,(2) 充分性,例1,解,(5)(7)(8)(9),四、微分的几何意义,M,N,）,C: y=f(x) 在 M(x0, f(x0) 的切线 。</p><p>7、第五节 微分及其应用,一、微分的定义与几何意义 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、小结,一微分的定义与几何意义 1、问题的提出,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,2、微分的定义,定义,(微分的实质),由定义知:,3、可微的条件,定理,证,(1) 必要性,(2) 充分性,例1,解,4、微分的几何意义,M,N,）,几何意义:(如图),二、微分的求法,求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,2。</p><p>8、第八节 微分的概念及其应用,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,一、微分的定义,再如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,定义,由定义知:,定理,证,(1)必要性,(2)充分性,例1,解,导数也称为“微商”.,二、微分的几何意义,M,N,）,几何意义:(如图),以直代曲,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则,求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,1. 基本初等函数的微分公式,2. 函数和、差、积、商的微分法则,结论：,3.复合函数的微分法则,此性质称为一阶微分的形。</p><p>9、引例 一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x0 变到 x0Dx 考查此薄片的面积 A 的改变情况.,因为 Ax2 所以金属片面积的改变量为 DA(x0Dx)2(x0)2 2x0Dx(Dx)2,当Dx0时 (Dx)2o(Dx ) DA的主要部分是Dx的线性函数2x0Dx 2x0Dx是DA的近似值,一、微分的定义,设函数yf(x)在某区间内有定义 x0及x0Dx在这区间内 如果函数的增量 Dyf(x0Dx)f(x0) 可表示为 DyADxo(Dx) 其中A是不依赖于Dx的常数 o(Dx)是比Dx高阶的无穷小 那么称函数yf(x)在点x0是可微的 而ADx叫做函数yf(x)在点x0相应于自变量增量Dx的微分 记作dy 即 dyADx,微分的定义,可微与可导的关系,yf(x。</p><p>10、第五节 函数的微分及其应用,一、案例 二、 概念和公式的引出 三、进一步练习,考察,面积增加了多少？,边长为x的正方形面积为s=x2,可以看出，面积的增量,设函数f (x)在点x0的附近可导，则,称为函数f (x)在点的微分，记作,一般地，函数在任一点处的微分为,微分,即函数的改变量可以用函数的微分来近似计算,在实践中往往利用微分函数增量的近似值。,练习1 金属立体受热后体积的改变量,某一正方体金属的边长为2cm，当金属受热,边长增加0.01cm时，体积的微分是多少？体积的,改变量又是多少？,练习2 电压改变量 设有一电阻负载 R=25,现负载功率P从。</p><p>11、第五节 函数的微分及其应用,一、案例 二、 概念和公式的引出 三、进一步练习,考察,面积增加了多少？,边长为x的正方形面积为s=x2,可以看出，面积的增量,设函数f (x)在点x0的附近可导，则,称为函数f (x)在点的微分，记作,一般地，函数在任一点处的微分为,微分,即函数的改变量可以用函数的微分来近似计算,在实践中往往利用微分函数增量的近似值。,练习1 金属立体受热后体积的改变量,某一正方体金属的边长为2cm，当金属受热,边长增加0.01cm时，体积的微分是多少？体积的,改变量又是多少？,练习2 电压改变量 设有一电阻负载 R=25,现负载功率P从。</p>