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第三节 函数的微分及应用,一、问题的提出 二、微分的定义 三、可微的条件 四、微分的几何意义 五、*微分形式的不变性 六、*微分在近似计算中的应用 七、小结,一、问题的提出近似计算问题,实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量。,再如,既容易计算又是较好的近似值,问题：是否所有函数的改变量都有这样的线性函数 (改变量的线性主要部分)？如果有，它是什么？如 何求？,二、微分的定义,定义,(微分的实质),三、可微的条件,定理,证,(1) 必要性,(2) 充分性,例1,解,(5)(7)(8)(9),四、微分的几何意义,M,N,）,C: y=f(x) 在 M(x0, f(x0) 的切线 T：y- f(x0)= f(x0)(x- x0) = f(x0)x,= dy,Q,1. 基本函数的微分公式,P60,2. 函数和、差、积、商的微分法则,P61,例2,解,例3,解,结论：,微分形式的不变性,五、微分形式的不变性,利用微分的形式不变性。,例4,解,例3,解,例5,解,在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使等式成立.,*例6 求由方程 cos(xy)=x2y2 所确定的 y=y(x) 微分及导数.,解,*六、微分在近似计算中的应用,例7,解,例8,解,练习：P63：3（1）（2）,七、小结,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,函数的近计算似问题,微分的概念,导数的概念,求导数与微分的方法，叫做微分法.,研究微分法与导数理论及其应用的科学，做微分学.,导数与微分的联系:,导数与微分的区别:,思考题,思考题解答,说法不对.,从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.,第二章 重点（星号部分属于专插本）,导数的定义（P38） 导数几何意义：求切线和法线(P41-42) 可导的判断(P40先求左右导数) 隐函数求导(P51) 幂指函数求导(P51-52) 参数方程所确定的隐函数求导(P52-53) 高阶导数（P54-55观察规律） 求微分(P61-62),第一章 重点（星号部分属于专插本）,求定义域(P2-3) 判断是否同一函数(P2) 求函数的关系式(例如P12（4）) 判断函数的奇偶性、有界性(例如P11:3、5) 求反函数 无穷小及其比较(P24) 求极限 连续性及间断点的判断(P28
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