无穷小量的比较

无穷小量的比较Tag内容描述：<p>1、I 摘 要 无穷小量具有很好的性质,灵活运用这些性质,无论是在求极限的运算中,还是在正项 级数的敛散性判断中,都可取到预想不到的效果,能达到罗比塔法则所不能取代的作用.通 过举例,对比了不同情况下无穷小量的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件,不 仅使这些原本复杂的问题简单化,而且可避免出现错误地应用无穷小量. 关键词：无穷小量;极限;洛必达法则;比较审敛法;优越性 II ABSTRACT Equivalent Infinitesimal have good characters ,both in operation of test for Limit and determine whether the positive series converges or。</p><p>2、第六、七节 两个重要极限 与无穷小量的比较 内容提要 1. 两个重要极限； 2. 无穷小量的比较。 教学要求 1. 熟练掌握用两个重要极限求极限； 2. 熟练掌握无穷小的比较、等价无穷小量的性质及一 些常见的等价无穷小。 一、两个重要极限 ( x 取弧度单位 ) 如图所示 , 作单位圆 则圆心角AOB=x ， 显然有 AODAOB SSS DD AOB扇形 即xxxtansin 分别除以 xsin 对于情形, 有 证: x 再取倒数 , 得1 sin cos x x x (1) 由于用 x- 代替x时 xcos 和 x xsin 都不变号 不等 式(1)仍成立 , 恒 有不等式 1 sin cos x x x 成立。 3由于1coslim 0 = x x , 且 。</p><p>3、2/15 微积分微积分二二 1.1、问题的提出 一、无穷小量的比较 1.2、两个无穷小的关系 二、等价无穷小在求极 限中的应用 2.1、等价充要性 2.2、代换方法 三、小结 代换求极限的又一方法 比较：反映同过程, 两无 穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都 可进行比较. 练习： 第80页 1；3单号 。 思考题 任何两个无穷小都可以 比较吗？ 3/15 微积分微积分二二 1.1、问题的提出 无穷小的和、差、积仍为无穷小.无穷小的商是什么？ 例如: 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 不可比. 观察各极限 结论: 4/15 微积分微积分二二 1.2。</p><p>4、一.无穷小阶的比较,二.等价无穷小替换原理,2.6 无穷小阶的比较,一.无穷小阶的比较,虽然无穷小量都是趋于零的变量，但是不同的无穷小量 趋于零的速度却不一定相同. 为了反映不同的无穷小趋于零 的快慢程度，我们引入无穷小的阶的比较.,定义2.6.1 设 ，是在自变量同一变化过程中的两个无,穷小，且 0，则,(1) 如果 ,则称 是 的高阶无穷小, 记做,(2)如果 , 则称 是 的低阶无穷小.,(3) 如果 , 则称 与 是同阶无穷小.,特别地, 当c = 1时, 则称 是 的等价无穷小, 记做,(4) 如果 则称 是 的k阶无穷小.,例1,所以, 当x0时, 与 是同阶无穷小.,例2,所。</p><p>5、一、无穷小的比较,例如:,极限不同, 反映了无穷小趋向于零的“快慢”程度不同.,思考：如何刻画无穷小量之间的区别？,定义:,解,解,例1,例2,同阶,常见等价无穷小,常用等价无穷小:,以上等价无穷小的关系同学们必须孰记，以备应用。,思考：将以上等价无穷小推广， 在x a(常数或无穷), 当 u(x) 0时，有何结论？,推广:,例. 证明: 当,时,证:,二、等价无穷小替换,定理(等价无穷小替换定理),证明,应用：用等价无穷小可给出函数的近似表达式,例如:,例3,解,例4,解,例5,解,其他方法：用常规方法（同除x）,内容小结,1. 无穷小的比较,设 , 对同一自变量的。</p><p>6、1,第五节 极限存在准则 两个重要极限,二、两个重要极限,一、极限存在准则,夹逼准则 ；单调有界准则,2,1. 夹逼准则,准则 ：,准则 ：单调有界数列必有极限.,2.单调有界准则,一、极限存在准则,3,例1,解,由两边夹法则得,4,证明略,准则 单调有界数列必有极限.,2、单调有界准则,5,证,(舍去),6,二、两个重要极限,设单位圆O，,圆心角,作单位圆的切线,7,注意：,（令 ）,2) 作用：,8,解：,解：,1.,=1,例1.,求,例2.,例3.,解：,9,例4.,解：,思考 ：,10,我们从三方面来认识这个极限：,2),第二项与指数互为倒数.,极限形式是,3)不管自变量如何变，满足前。</p><p>7、1,2-6 无穷小量的比较,2,复习,二、两个重要极限,一、极限存在准则,夹逼准则 ；单调有界准则,3,都是无穷小.,极限不同,反映了无穷小趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,不存在,第六节 无穷小的比较,4,定义：,记作：,(1)如果,(2)如果,(3)如果,(4)如果,记作：,设,是同一过程中的两个无穷小，,且,特别地,若C =1时,5,注意：,1.无穷小的阶的高低是相对的；并依赖于极限过程的；,2.无穷小的比较是 型极限的另外一种说法；,3.有两个重要的符号,6,例如,7,8,例1,求,解,令,则,当,所以,证,1.,9,例3,1.,则,注意,10,例4,解,例5,解,11,例6 设。</p><p>8、一元微积分学,大 学 数 学（一）,第十一讲 无穷小量的比较,脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民,第三章 函数的极限与连续性,本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“”和 “X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用。</p><p>9、一元微积分学,大 学 数 学（一）,第十一讲 无穷小量的比较,脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民,第三章 函数的极限与连续性,本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“”和 “X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用。</p><p>10、1.2.6无穷小量的比较,例如,不可比.,观察各极限,反映了同一过程中,两无穷小量趋于零的速度快慢,、定义:,例如，,注意：并非所有的无穷小量都有以上三种关系,例,解,证明:当,时,证:,证明:,证:,目录上页下页返回结束,因此,即有等价关系:,2、常用等价无穷小量:,12、等价无穷小代换,定理(等价无穷小代换定理),证,设对同一变。</p><p>11、课前练习,Continuity of Function,二、等价无穷小在求极限中的应用,一、无穷小量的比较,2.7 无穷小量的比较,2.7 无穷小量的比较,1.1、问题的提出,一、无穷小量的比较,一、无穷小量的比较,1.1、问题的提出,无穷小的和、差、积仍为无穷小.无穷小的商是什么？,引例:,趋向于零的“快慢”程度不同.,结论:,2.7 无穷小量的比较,1.1、问题的提出,一、无穷。</p><p>12、第一章,都是无穷小,引例 .,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.5.3 无穷小量阶的比较,为了描述它，引进了无穷小“阶”的概念。,定义.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,机动 目录 上页 下页 返回。</p>