相似矩阵及二次型

相似矩阵及二次型Tag内容描述：<p>1、方阵的特征值与特 征向量 相似矩阵 矩阵的对角化 对称矩阵的对角化 二次型的标准形与 正定性 第四章 相似矩阵及二次型 本章内容 2 2 *河北科大理学院 第五章 相似矩阵及二次型 一 特征值与特征向量的概念 第16讲讲 方阵阵的特征值值与特征向量 是 A的特征值， 定义1 n阶方阵A，若 使得 eigenvalueeigenvector 是A的对应于 的特征向量. 注1是 A 的特征值、特征向量 是 的根, 是 的非零解. 注2 在复数域内特征值一定存在，且n阶矩阵有 n个特征值（重根按重数计算） 特征多项式 特征方程 注3 对应于一个特征值的特征向量有无穷多个 则称 3 3 。</p><p>2、相似矩阵及二次型 1.向量的内积 定义1 设有n维向量 令 x, y称为向量x与y的内积。 内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当x与y都是列向量时，有 内积具有下列性质（其中x,y,z为n维向量，为实数）： （1）x, y=y, x; （2） x, y= x, y; （3）x+y,z=x,z+y,z. . 1.向量的内积 有解析几何中，我们曾经引进向量的数量积 且在直角坐标系中，有 n维向量的内积时数量积的一种推广，但n维向量没有3维向量那样直观 的长度和夹角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广， 并且反过来，利用内积来定义n维向量的长度和夹角： 定义2 令 称。</p><p>3、相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 知知 识识 要要 点点 一、内容提要一、内容提要 1. 1. 向量的内积向量的内积 (1) (1) 定义定义1 1 设有 n 维向量 x = (x1 , x2 , , xn)T , y = (y1 , y2 , , yn)T, 令 x, y = x1y1 + x2y2 + + xnyn 称为向量向量 x x 与与 y y 的内积的内积. 内积满足下列运算规律内积满足下列运算规律: : (i)(i) x, y = y, x; (ii)(ii) x, y = x, y; (iii)(iii) x + y, z = x,z + y,z. (2)(2) 定义定义 2 2 称为 n 维向量 x 的长度长度(或范数范数). 向量长度具有下列性质向量长度具有下列性质: : (i)(i) 非负性非负性:。</p><p>4、第五章 矩阵的对角化及二次型 第一节 方阵的特征值与特征向量,一.概念: 1.特征值,特征向量:,设 A 是 n 阶矩阵，如果数 和 n 维非零列向量 x 使 关系式 成立，那么，这样的数 称为方阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 的对应于特征值 的特征向量。,2.特征方程,特征多项式,特征矩阵:,称 为方阵 A 的特征方程，显然特征方程 的n个根即为 A 的n个特征值(实根或复根)。,称为 A的 特征矩阵。,设 为 的一个特征值， 为其对应的特征向量，则,注：一个特征值对应的特征向量可能有无穷多个。,例1：求矩阵 特征值和特征向量。,二.计算方法:,解：A 的。</p><p>5、第五章 测试题,一、填空题(每小题4分，共32分),1.设A是n 阶方阵，,2. 三阶方阵A的特征值为,3.设,是A的伴随矩阵，,则矩阵,的特征值是 ___,特征向量是 ___。,则,的特征值是 ___.,且A的特征值为2和1(二重),则B的特征值是 ___.,的矩阵是 __________。,4.已知矩阵,5.二次型,6.当_______时,与,相似,则,实二次型,是正定的.,7.矩阵,8.当 t 满足_______时,1.(7分) 设2是矩阵,的特征值,求,(1) t 的值;,(2) 对应于2的所有特征向量.,二、计算题（共40分）,二次型,是负定的。,对应的二次型是_________。,2.(10分) 设矩阵A与B相似，,3.(10分) 已知三阶矩。</p><p>6、本章中我们主要介绍了 方阵的特征値与特征向量; 相似矩阵,尤其是对称矩阵的相似矩阵; 化二次型为标准形的方法,特别是利用正交变换化二次型为标准形.,并且给出了一种求正交向量组的方法, 施密特(Schimidt)正交化方法.,例1.,解,亦即方程,显然，方程组的基础解系为,例2.,例3.,例4.,例5,设矩阵A与 B相似，其中,（1）求 x 和 y 的值； （2）求可逆阵P，使 .,解 (1)因为AB,故其特征多项式相同,即,(2) 由(1)知,由于A B,从而A的特征值为,则有可逆矩阵,使得,例6.,（2。</p><p>7、线 性 代 数,第五章 相似矩阵及二次型,定义, 向量内积的定义及运算规律,定义,向量的长度具有下列性质：, 向量的长度,定义, 向量的夹角,所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基,定理,定义, 正交向量组的性质,施密特正交化方法,第一步 正交化,第二步 单位化,定义, 正交矩阵与正交变换,方阵 为正交矩阵的充分必要条件是 的行 （列）向量都是单位向量，且两两正交,定义 若 为正交矩阵，则线性变换 称为 正交变换,正交变换的特性在于保持线段的长度不变,定义, 方阵的特征值和特征向量, 有关特。</p><p>8、2019/7/18,线性代数课件,线 性 代 数,2019/7/18,线性代数课件,第五章 相似矩阵及二次型,2019/7/18,线性代数课件,一、惯性定理,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质,2019/7/18,线性代数课件,2019/7/18,线性代数课件,为正定二次型,为负定二次型,二、正(负)定二次型的概念,例如,2019/7/18,线性代数课件,证明,充分性,故,三、正(。</p><p>9、本章中我们主要介绍了 方阵的特征値与特征向量; 相似矩阵,尤其是对称矩阵的相似矩阵; 化二次型为标准形的方法,特别是利用正交变换化二次型为标准形.,并且给出了一种求正交向量组的方法, 施密特(Schimidt)正交化方法.,例1.,解,亦即方程,显然，方程组的基础解系为,例2.,例3.,例4.,例5,设矩阵A与 B相似，其中,（1）求 x 和 y 的值； （2）求可逆阵P，使 .,解 (1)因为AB,故其特征多项式相同,即,(2) 由(1)知,由于A B,从而A的特征值为,则有可逆矩阵,使得,例6.,（2。</p><p>10、1,第五章相似矩阵及二次型,2,1向量的内积、长度及正交性,定义1：设n维向量,记作,称,为向量x与y的内积，,3,内积有下列性质：,(1)x,y=y,x;(2)lx,y=lx,y;(3)x+y,z=x,z+y,z;(4)x,x0,x0;x,x=0,x=0。</p><p>11、班级 姓名 学号 第五章 相似矩阵及二次型 1 试用施密特法把向量组正交化 解 根据施密特正交化方法 令 故正交化后得 2 判断下列矩阵是不是正交阵 并说明理由 1 2 解 1 第一个行向量非单位向量 故不是正交阵 2 该方阵。</p><p>12、5-1向量的内积与方阵的特征值1设为矩阵的特征值，且，则为 的特征值。2设为阶实对称阵，为的不同特征值对应的特征向量，则 。与线性相关； 与线性无关； 3设都为阶矩阵的特征值，且分别为对应于的特征向量，则当 满足时，必为的特征向量。且； 且； 且； 4设阶方阵的特。</p><p>13、2020 2 5 线性代数课件 线性代数 2020 2 5 线性代数课件 第五章相似矩阵及二次型 2020 2 5 线性代数课件 一 拉格朗日配方法的具体步骤 用正交变换化二次型为标准形 其特点是保持几何形状不变 问题有没有其它方法 也。</p><p>14、线性代数 第五章相似矩阵及二次型 定义 向量内积的定义及运算规律 定义 向量的长度具有下列性质 向量的长度 定义 向量的夹角 所谓正交向量组 是指一组两两正交的非零向量 向量空间的基若是正交向量组 就称为正交基。</p>