线性代数二次型

线性代数二次型Tag内容描述：<p>1、线代框架之二次型1定义：二次型 （其中，即为对称矩阵，）。只含平方项的二次型称为二次型的标准形（此时二次型的矩阵为对角矩阵）经过化为标准形(其中).注：二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由 唯一确定的.标准形的系数只在1，-1，0三个数中取值的称为二次型的规范形，任意二次型均存在可逆变换化为规范形。2.合同：与合同 设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C使得 ，则称A与B合同。合同的性质：；合同变换不改变二次型的正定性. 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. 两个矩阵合同的。</p><p>2、华南农业大学理学院应用数学系,线性代数,多媒体教学演示,第一章 矩阵与线性方程,第三章 向量的内积与正交矩真,第五章 二次型,第七章 Matlab 软件的应用,第二章 向量与线性方程组,第六章 线性空间与线性变换,第四章 矩阵的特征与特征向量,第五章 二次型,1 二次型的标准形,3 正定二次型,2 二次型的规范形,二次型的标准形,第一节,二次型和它的矩阵,定义,叫做二次型。,二次型 f,对称矩阵 A,对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩,显然A是对称矩阵，,这表明对称矩阵A是二次型,的矩阵。,只含有平方项的二次型叫做标准形,解,（秩不变）,二次型的标。</p><p>3、Ch4 二次型,如,如,在平面解析几何中,配方得:,在空间解析几何中,配方:,为椭圆.,为球面.,对二次曲线及二次曲面的研究,二次型不仅在几何中出现,二次曲线的一般方程为:,令,得,发展了二次型的理论。,在数学的其它分支,以及工程技术,和经济管理的许多问题中也常常遇到.,二次曲面的一般方程为:,定义4.1 只含有二次项的n元多项式,称为 的一个n 元二次型,令aij=aji ,则二次型可写为：,(一)二次型及其矩阵,简称为二次型.,令,其中,A为对称矩阵.,对称矩阵A称为,例如二次型,它的矩阵为,矩阵A的秩称为,例如二次型,此二次型的矩阵为,是对称矩阵.,又如二次。</p><p>4、5.2 二次型及其标准形,一、二次型的矩阵表示,1、二次型,定义1 . n个变量 的二次齐次函数,2、 二次型的矩阵表示法,令,其中,A是一个n阶对称矩阵,称为二次型的矩阵表达形式,A称为二次型的矩阵，A的秩称为二次型的秩.,说明：,（1）二次型的矩阵都是对称矩阵；,（2）二次型和它的矩阵是相互唯一决定的（一一对应）；,写出它的矩阵表达式。,例1：,解：,例2,解,0,2,0,注,1、变量的线性变换,定义5.2,关系式,令,则线性变换的矩阵形式为,x = Cy,二.二次型的标准形.,说明,为满秩（或可逆）的线性变换，此时,（1）如果系数矩阵C可逆，即|C|0，则称线性。</p><p>5、5.1二次型的概念,称为n元二次型.简称二次型。,每项都是二次的多项式称为二次型（或二次齐式）,例如,都为实二次型；,2、二次型的表示方法,例1、将二次型,用矩阵表示。,3、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,解,例2,4、合同变换,设有一个可逆的线性变换，,定义5.2. 对于n阶矩阵A和B,如果存在n阶可逆矩阵C,使得B=CTAC,就称A合同于B,记作AB，对A进行运算称为对A进行合同变换.,矩阵间的合。</p><p>6、一、二次型及其矩阵表示,三、正定二次型（重点）,二、化二次型为标准形（重点）,第5，6，7节 二次型及其标准形,四、小结,问题的引入,在平面解析几何中，,我们知道标准方程,中,的图形为圆。,的图形为椭圆。,的图形为双曲线。,对于一般二次曲线,的图形是什么？,引例,取,二次曲线,引入坐标变换,代入方程左边，,消交叉项得,则原方程化为,若取,可见，对于一般二次曲线,只要适当选择,作旋转变换,就可将曲线方程化为标准方程,（二次齐次式，只含平方项）,就可以判别二次曲线（1）的图形。,二次曲面也有类似的问题，,标准形式.,下面作一般讨论。,。</p><p>7、第二节 二次型的规范形,1讨论了任意一个二次型经过满秩线性变换可化为标准形, 且标准形不唯一. 即任意一个对称矩阵可用合同变换化为对角形矩阵, 并且对角元不唯一. 而对角形矩阵的秩等于它的对角线上不为零元素的个数r. 再者合同变换是保秩变换, 因此原对称矩阵的秩也是r.,这样, 在一个二次型的标准形中系数不为零的平方项的个数是唯一确定的, 与所进行的满秩线性变换无关.,本节分别在复数域和实数域中进一步讨论标准形的唯一性问题.,一 复数域,设f (x1, x2, , xn)是复数域上的二次型, 经过满秩变换化为标准形,其中r是二次型 f 的秩, rn.,。</p><p>8、5二次型及其标准形,一、二次型及其标准形的概念,二、二次型的表示方法,三、合同矩阵,四、化二次型为标准形,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,例如,都为二次型.,例如,为二次型的标准形.,称为二次型的规范形。</p><p>9、华南农业大学理学院应用数学系 线性代数 多媒体教学演示 第一章矩阵与线性方程 第三章向量的内积与正交矩真 第五章二次型 第七章Matlab软件的应用 第二章向量与线性方程组 第六章线性空间与线性变换 第四章矩阵的特。</p><p>10、第五章 第五节,二次型及其标准形,二次曲线,m，n的符号决定曲线是椭圆还是双曲线 变换的关键是只保留平方项，去掉xy项。,二次型,变形成对称的写法,寻找线性变换,对称矩阵表示二次型,合同变换,对角合同化,可以选用正交矩阵作为P,标准形可以进一步变成规范形,标准形、规范形,利用之前特征值的结果计算。</p>