线性代数课件

线性代数课件Tag内容描述：<p>1、3.6 线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的结构 1解的性质 性质1 (1)的两个解的和还是(1) 的解; 性质2 (1)的一个解的倍数还是(1)的解; 性质3 (1)的解的任一线性组合还是(1)的解 2 基础解系 定义 齐次线性方程组(1)的一组解 1,2,r，若满足 1) 1,2,r线性无关； 2) 齐次线性方程组(1)的任意一解都可 由1,2,r线性表出； 则称1,2,r为齐次线性方程组(1) 的一 个基础解系； 4 基础解系存在性 定理 在齐次线性方程组(1)有非零解的 情况下，它有基础解系，并且基础解系 所含解向量的个数等于nr, 其中r 为方程 组系数矩阵的秩。 证：若r=n, 方。</p><p>2、3 相似矩阵 一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化 一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 证明 定理3 推论 若 阶方阵A与对角阵 利用对角矩阵计算矩阵多项式 k个 利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 的多项式 . 定理 三、利用相似变换将方阵对角化 定理4 说明 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似 推论 如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化 。</p><p>3、25 逆矩阵 在实数运算中，若a0，则总能找到一 个数 b,使得ab=ba=1，称b为a的逆。 定义214 对于n阶方阵A，若存在矩阵B,使得 则称A为可逆矩阵，简称A可逆。并 称B为A的逆矩阵。 定义214的说明： （1）逆矩阵只对方阵而言，且B与A为同阶方阵 （2）A、B互为逆矩阵。 （3）若A可逆，则其逆矩阵是唯一的 ( 因为若B、C都是A的逆矩阵，则有AB=BA=E,AC=CA=E 于是 B ,即 记为 即若 则 =BE=B(AC)=(BA)C =EC =C ） 例如 由于=E 且=E 所以A可逆，B为A的逆矩阵 即 同时 【例1】 设对角矩阵，其中 证明A可逆，且 证明：因为=E 且 =E 所以，A可逆，且 例（。</p><p>4、上页下页结束返回首页 1.2 n 阶行列式 特殊行列式的值 排列与对换 n阶行列式的定义 排列 上页下页结束返回首页 n 阶行列式 25431 是一个5级排列。 例如，3421 是4级排列； 例1写出所有的3级排列。 解：所有的3级排列为： 321。312，231，213，132，123， 排列： 由自然数1，2， ，n组成的有序数组 i1 i2 in 称为一个n级排列。 逆序数 上页下页结束返回首页 定义1.1 在 n 级排列 i1 is it in中，如果 is it， 则称 is与 it构成一个逆序。排列中逆序总数称为逆序数 ， 记为 N(i1 i2 in)。 逆序与逆序数： 排列： 例如， N(1234)=0，N(52341)。</p><p>5、第四章 线性方程组,4.1 齐次线性方程组 4.2 非齐次线性方程组,4.1 齐次线性方程组,4.1.1 齐次线性方程组的解 4.1.2 齐次线性方程组的通解的求法,4.1.1 齐次线性方程组的解,性质,性质合并,齐次线性方程组 要解决的3个问题 1.满足什么条件时，有非零解？ （答案： P79） 定理2.7.1当且仅当系数矩阵的秩未知量的个数 2.齐次线性方程组有非零解时，有多少个？ 3.当有无穷多个解时，用一个简单的表达式表示所有解 （本节解决后两个）,定义4.1.1,定理4.1.1,证明自学P112,两个注意,线性方程组“通解”表达式,例2、例3 由方程组的一个基础解系 证。</p><p>6、1 消元法、线性方程组解的讨论,第四章 线性方程组,1 消元法、线性方程组解的讨论,2 线性方程组解的结构,1 消元法、线性方程组解的讨论,一、消元法,1 消元法、线性方程组解的讨论,二、线性方程组解的判定与解的性质,1、线性方程组的基本概念,2、线性方程组的初等变换,3、消元法,1、线性方程组解的判定,2、线性方程组解的性质,(1) 一般线性方程组是指形式为,(1),是方程的个数 ;,的方程组，其中 代表 个未知量，,称为方程组的系数； 称为常数项 。,一、消元法 1、线性方程组的基本概念,简记为,(2) 方程组的解,设 是 个数，如果 分别用,代入后。</p><p>7、课程简介,线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系,问题. 线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式,来表达的. 最简单的线性问题就是解线性方程组.,行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具，,也推动了线性代数的发展. 向量概念的引入，形成了向,量空间的概念，而线性问题都可以用向量空间的观点加,以讨论. 因此向量空间及其线性变换，以及与此相联系,的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容.,它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上 既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁 琐和技巧性很强的数字计算，在。</p><p>8、几点要求与注意： 1。考研辅导学时有限，教师讲解不可能 面面俱到，只能画龙点睛，教师所起的只 是引导的作用，师生必须相互配合默契才 能发挥最大的效益。 2。辅导讲解主要讲授：常见题型，解题 分析，,第一章 行列式,行列式的常用计算方法：化三角形；递推法； 数学归纳法，公式法,知识要点,线性代数中与行列式有关的内容： 时，齐次线性方程组AX=0有非零解， 但非齐次线性方程组没有唯一解（可能无解或 无穷解） 时，A可逆，可用A*求逆； 对n个n维向量 可用其行列式 判其线性相关性；,6.可用顺序主子式判二次型 的正定性,4.可定义矩阵A。</p><p>9、第一章 矩阵,第一章 矩阵,1.矩阵及其运算 2.分块矩阵 3.可逆矩阵 4.矩阵的初等变换和初等矩阵,重点: 矩阵的各种运算及初等变换,难点: 逆矩阵,矩阵的分块,第一节 矩阵及其运算,一、矩阵概念的引入,二、矩阵的加法与数量乘法,三、矩阵与矩阵的乘法,四、矩阵的转置,1、在生活中存在很多数表：,例：,课程表,高数1,英语2,口语3,计算机4, C语言5, 离散6,大物7,马列8, 体育9,若没课0,一、矩阵概念的引入,例2. 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B.,四城市间。</p><p>10、只需寻找,3 对称方阵对角化和二次型化标准形,使二次型,转换为标准形,正交变换,要判断曲线、曲面形状,只需将曲线、曲面方程转化为标准方程,只需寻找,本章中心,本章结构：,二次型的定义及矩阵表示 正交向量组 特征值与特征向量 方阵对角化的充要条件 对称方阵对角化 二次型化标准型,本节重点：,(1)求正交相似变换阵将实对称矩阵化为对角阵；,(2)求正交变换将二次型化为标准形。,复习,n 阶矩阵 A 可对角化,A有n 个线性无关的特征向量.,求n阶特征值和特征向量的方法：,1.,求特征多项式,就是n阶矩阵A的特征值；,2.,求特征方程,的根,的非零解，,。</p><p>11、4 对称矩阵的对角化,一、对称矩阵的性质,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化,1、定理5 对称矩阵的特征值为实数.,一、对称矩阵的性质,说明：本节所提到的对称矩阵，均指实对称矩阵,2、定理6,4、定理7,3、,利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化,解,例1 设实对称矩阵 求正交矩阵 P，使 为对角阵.,得基础解系,得基础解系,单位化，得,单位化，得,得基础解系,单位化，得,解,例2 设实对称矩阵 求正交矩阵 P，使 为对角阵.,单位化，得,单位化，得,正交化，得,于是得正交阵,例3,1. 对称矩阵的性质：,三、。</p><p>12、第六章 矩阵的特征值和特值向量,1 矩阵的特征值和特征向量,矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中重要个概念之一, 它有着广泛的应用. 本章将引进特征值和特征向量的概念及其计算. 并给出将矩阵对角化的方法.,一. 定义和计算,定义6.1 设A是n阶方阵, 如果数0和n维非零列向量满足关系式 A=0 则称0为A的特征值, 为A的属于0的一个特征向量.,如果A是奇异矩阵(|A|=0), 则齐次线性方程组Ax=0有非零解, 若记为Ax=0的非零解, 则有,可见, 0=0为奇异矩阵A的特征值, 方程组Ax=0的非零解都是A的属于特征值0=0的特征向量.,A=0=0,一般地, 由A=0 可得,(0E A)=。</p><p>13、只需寻找,4 二次型化标准形,使二次型,转换为标准形,正交变换,要判断曲线、曲面形状,只需将曲线、曲面方程转化为标准方程,只需寻找,一、利用正交变换化二次型为标准形,定理1 设A 为n 阶对称矩阵,则必有正交矩阵Q,使,回顾上次课结论：,（1）设A有m个不同特征值,依次为,（2）相应于,恰有,个线性无关的特征向量,，它们的重数,，把它们正交单位化得，,（3）,为正交阵，且有,总有正交变换 x = Py，使 f 化为标准形,定理2,例1 求一个正交变换 x = Py，把二次型,化为标准形.,利用正交矩阵将对称矩阵,对角化.,于是问题转化为：,解：,A的特征多项式。</p><p>14、1,线 性 代 数,上课时间: 11-12学年度第一学期; 9-18周 周二 周四,上课地点: 东九,课程类型: 必修(考试).,教学方法: 课堂授课.,主讲教师: 刘早清,总学时数: 40,2,参考书: 线性代数学习辅导与习题全解 华中科大. 二版 高等教育出版社。,作业： 每周 四交 （以小班为单位、学习委员负责收） 考试成绩：作业（20%）+卷面（80%） 联系方式： 问题及建议： liuzaoqing166sina.com 课件下载： liuzaoqing1688sina.com (mm 123456),3,第一章 行列式,一. 二（三）阶行列式,二. 余子式、代数余子式,三. n 阶行列式的定义,四. 行列式的性质,五. 行列。</p><p>15、第四章 向量组的线性相关性,1 向量组及线性表示,目的要求,（3）理解向量的线性组合、线性表示概念；,（1）了解向量概念；,（2）掌握向量加法、数乘运算法则；,（4）掌握线性方程组与线性表示的关系.,一、n 维向量的概念,分量全为复数的向量称为复向量.,分量全为实数的向量称为实向量，,默认为实向量,1.定义：,例如,n维实向量,n维复向量,第1个分量,第n个分量,第2个分量,2、n 维向量的表示方法,维向量写成一行，称为行向量，也就是行,维向量写成一列，称为列向量，也就是列,注意,行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；,行向量和列向量。</p>