中值定理与导数

中值定理与导数Tag内容描述：<p>1、第三章 中值定理与导数 的应用 (习题课) 题组一：中值定理 1.考察函数在 0 , 2 上 关于拉格朗日定理的正确性. 解: (1) 验证 f (x)在 x = 1处的连续性 。 (2) 验证 f (x)在 x = 0处右连续; x = 2处左连续。 (3) 验证 f (x)在 x = 1处的可导性。 2. 求下列极限 解: （2） 解: （3） 解: （4） 解: 因为 所以 原式 = 3. 设 f ( x ) 在 证明:当 是同阶无穷小. 证明: x0的某一邻域内具有二阶导数,且 接3. 且 (非零常数) 故当 是同阶无穷小. 4. 证明:当 x 1时, 证明: 接4. 取 x = 1 得 5. 证明函数的导 数在 ( a , b )内必有零点. 证明: Rolle定。</p><p>2、理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 高等数学高等数学A A 第三章 中值定理与导数的应用 中值定理 洛必达法则 泰勒公式 导数的应用 中值定理 第 一 节 学习重点 理解罗尔定理 掌握拉格朗日中值定理及其推论 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 微分中值定理包括：罗尔( Rolle )定理、拉格朗 日(Lagrange )中值定理和柯西(Cauchy )中值定理 3.1 中 值 定 理 微分中值定理的共同特点是：在一定的条件下 ，可以断定在所给区间内至少有一点，使所研究 的函数在该点具有某种微分性质。 微分中值定理。</p><p>3、结束,第3章 中值定理、导数应用,定理1 设函数 满足下列条件,(3),(1) 在闭区间 上连续；,(2) 在开区间 内可导;,则在内至少存在一点 ，,3.1.1 罗尔定理,a,b,使得,几何解释如图,在直角坐标系Oxy中,曲线 两端点的连线 平行于 轴,其斜率为零,故在曲线弧上定有一点 使曲线在该点的切线平行于弦 ，即平行于 轴。,即,则在区间 内至少存在,(1) 在闭区间 上连续；,(2) 在开区间 内可导；,定理2 设函数 满足下列条件,一点 ，,使得,3.1.2 拉格朗日中值定理,曲线 处处有不垂直于 轴的切线,如图 在直角坐标系Oxy,端点连线AB的斜率为,所以定理实际是说存。</p><p>4、第四章 中值定理与导数的应用,1,第四章 中值定理与导数的应用, 4.1 中值定理, 4.2 洛必达法则, 4.3 函数的增减性, 4.4 函数的极值, 4.5 最大值与最小值，极值的应用问题, 4.6 曲线的凹向与拐点, 4.7 函数图形的作法, 4.8 边际分析与弹性分析介绍,第四章第1节,2,4.1 中值定理,一、罗尔中值定理,二、拉格朗日中值定理,三、柯西中值定理,第四章第1节,3,一、罗尔中值定理,注：,1. 定理的条件：三个缺一不可.,2. 定理的应用：导函数零点(根)的存在问题.,例1,例2,第四章第1节,4,例1. 验证 f(x) x2 2x 3 在 -1, 3 上满足罗尔定理条件， 找出满足 。</p><p>5、第三章 中值定理 与导数的应用,一、罗尔(Rolle)定理,例如,第一节 中值定理,物理解释:,变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.,几何解释:,引理：（费马原理） 若函数 在点 处可导，且有 的 某邻域内有 则必有 。,证,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,例如,例1,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,例2,证,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,证,分析:,化为罗尔定理的结论形式,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数。</p><p>6、二、 导数应用,习题课,一、 微分中值定理及其应用,中值定理及导数的应用,第三章,一、 基本内容,1. 微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,2、,存在 (或为 ),洛必达法则,(洛必达法则),3. 可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,4.曲线凹凸与拐点的判别,拐点, 连续曲线上有切线的凹凸分界点,5. 连续函数的极值,(1) 极值疑似点 :,使导数为0 或不存在的点,(2) 第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3) 第二充分条件,为极大值,为极小值,定理3,最值点应在极值点和边界点上找 ;,应用题可根据问题的。</p><p>7、第一节 中值定理,一、罗尔定理 二、拉格朗日(Lagrange)中 值定理 三、小结与作业,一、罗尔定理,几何解释:,例如,例,例,上例说明罗尔定理的条件是结论成立的充分条 件, 但不是必要条件.,2) 罗尔定理的结论中不是唯一的.,1) 罗尔定理的三个条件对于结论的成立都是重要的.,关于罗尔定理的几点说明,3) 将罗尔定理的条件1.2.换为a,b上可导,结论仍成立.,例1,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,证,分析:,弦AB方程为,作辅助函数,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区。</p><p>8、第三章 微分中值定理与导数应用,微分中值定理 洛必达法则 单调性、函数极值与最值,3.1 微分中值定理,罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理,定理1 罗尔(Rolle)定理,怎样证明洛尔定理 ？,闭区间上连续函数的最大最小值定理！,罗尔定理的几何意义,至少有一点的切线平行于（高度相同的两端点的连线,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,定理2 拉格朗日(Lagrange)中值定理,弦AB方程为,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在。</p><p>9、第三章 中值定理与导数的应用,第 一 节 中值定理,一、罗尔(Rolle)定理,几何解释:,证,讨论：,不妨设,因而,下证：,且,则有,得,则有,得,（1）,（2）,证毕。,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,下面举例说明。,不满足条件(1).,不满足条件（2）,不满足条件（3）,例1,证,由零点定理得：,矛盾!,注：,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,分析:,弦AB方程为,作辅助函数,证,由已知得：,且,即,根据罗尔定理，得：,使得,即,即,证毕。,拉格朗日中值公式,注：,从而,记,则,这样，拉格郎日公式可表示为,此式称为有限增量公。</p>