高数(微积分)中值定理和导数应用.ppt

理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 高等数学高等数学A A 第三章 中值定理与导数的应用 中值定理 洛必达法则 泰勒公式 导数的应用 中值定理 第 一 节 学习重点 理解罗尔定理 掌握拉格朗日中值定理及其推论 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 微分中值定理包括：罗尔( Rolle )定理、拉格朗 日(Lagrange )中值定理和柯西(Cauchy )中值定理 3.1 中 值 定 理 微分中值定理的共同特点是：在一定的条件下 ，可以断定在所给区间内至少有一点，使所研究 的函数在该点具有某种微分性质。 微分中值定理是微分学的理论基础。是利用 导数研究函数性质的理论依据。 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 一、费尔马 ( Fermat )引理 （1）极值(局部最值)的定义： 则称函数 (或极小值), 并称 为 极值未必是函数 在 上的最大值, 极值只是局部最大的. 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 （2）费尔马(Fermat)引理(极值必要条件) 证明: 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 说明: 称使 的点 为函数 的驻点 二、罗尔(Rolle)定理 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 怎样证明罗尔定理 ？ 想到利用闭区间上连续 函数的最大最小值定理！ 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 证明: 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 三、拉格朗日(Lagrange )定理 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 怎样证明拉格朗日定理 ？ 拉格朗日定理若添加条件: 则为罗尔定理； 罗尔定理若放弃条件: 则推广为拉格朗日定理。 知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探索的 新问题转化为已掌握的老问题。 因此想到利用罗尔定理！ 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 满足罗尔定理条件 弦线与f(x)在端点处相等 设 所以函数 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 证明： 构造辅助函数 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 拉格朗日公式各种形式 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 有限增量公式 微小增量公式 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 推论1： 证 拉格朗日中值定理的推论 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 推论2： 推论3： 推论4： 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 四、柯西 (Cauchy )定理 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 证明： 构造辅助函数 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 拉格朗日定理 罗尔定理柯西定理 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 例1. 设函数 f (x) = (x1)(x2)(x3), 试判断方程 f x 有几个实根, 分别在何区间? 解: 因为 f (1)= f (2)= f (3), 且f (x)在1, 2上连续, 在(1,2)内可导, 由罗尔定理, 1(1, 2),使 f(1; 同理, 2, , 使 f (2; 又因f (x是二次方程, 至多两个实根, 故f (x有两个实根, 分别位于(1,2) 和(2,3)内. 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 例. 设 f (x) = x2 + x. 在1, 1上验证拉格朗 日中值定理的正确性. 解: (1) f (x) = x2 + x在1, 1上连续, 在(1, 1)内可导 . (2)看是否存在(1,1), 使得f (1)f (1)=f () 2 即 2(2 +1) = 20 或 4 = 0. = 0 (1,1). 故 = 0 (1,1), 使得f (1)f (1)=f () 2. 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 例. 证明 当x 0时, 证: 改写原式, (利用公式证不等式时, 往往要把待证式中的一部分写成 的形式, 以便构造函数 f (x).) 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 所以, 记 f (t) = ln(1+t), 知f (t)在0, x上满足拉格 朗日中值定理的条件. 且 因 故 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 证 在 内可导，且 . 设 ，显然 在 上连续; 即 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 例5. 设 f (x)在(, +)内可导. f (0)=0. 证明 (, +), 使得 2f () f () = 32 f 2(1) 证: 这一类问题, 往往可考虑用中值定理解决. 变形. 注意到, 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 左端, 从而, 待证式为 故, 记F(x) = f 2(x), g(x) = x3在0, 1上连续, 在 (0,1)内可导. 由柯西中值定理, (0, 1), 使得 理学院信息与计算科学系理学院信息与计