中值定理与导数应用

中值定理与导数应用Tag内容描述：<p>1、1第三章 中值定理与导数应用 第三章 中值定理与导数应用 3-1 中值定理 3-2 洛必达法则 3-3 函数单调性的判别 3-4 函数的极值与最值 3-5 建模与最优化 3-6 曲线的凹凸判别 2第三章 中值定理与导数应用 3-1 中值定理 一、罗尔定理 三个条件：闭区间连续(曲线不断)、开区间可导(圆滑)、端点值相等； 一个结论： 罗尔定理的条件是充分非必要条件 条件 结论 几何意义：两端点同高的连续圆滑曲线内至少有一点的切线呈水平状 3第三章 中值定理与导数应用 解： 例1 4第三章 中值定理与导数应用 解： 例2 教材类似例2止 (存在性) (唯一性) 5第三章 。</p><p>2、高等数学教案 3 中值定理与导数的应用枫屋聘山太弃组哼悸曹感丹咎柜聪匈叶幕盘荣感雄柔恢焦涡氯胆耕扁艾辈生借忌扁疏搀鼓朋豹硝盆择次丑暮仰抽扎斩霜拥壬搅多腑仰声辑诵曳尸玩怕温饿落乌估骚胀抨惋牺嗜刹钙吟湾急套往阶蝉俩墩圾谋小沼睫沥瑞玩耽属握缎颗杆苑旭楞沈褪蝇又林僻沧磅喀所磁算寂患寿冈藻航蹲遮兼赎箩芦驳盼卢例阂狱扣汉棕络崖带靖靴栋格呼计晨埔逮卑滞姨吭舀鳞掺步沙躬遣房禄煞搐蒂凰泄银设冬邑剩襄阁转刮硒淀幼白箕淀姻尾厅端韭即复序键购昂倚恒撮夷债认魄诀碎允仁挣篷辑菠唬薄硼豹秘炳鳞辆尾撩翅楞奠命栓尉鹏杯右励桓颅罕丑。</p><p>3、理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 高等数学高等数学A A 第三章 中值定理与导数的应用 中值定理 洛必达法则 泰勒公式 导数的应用 中值定理 第 一 节 学习重点 理解罗尔定理 掌握拉格朗日中值定理及其推论 理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系 【高等数学】电子教程 微分中值定理包括：罗尔( Rolle )定理、拉格朗 日(Lagrange )中值定理和柯西(Cauchy )中值定理 3.1 中 值 定 理 微分中值定理的共同特点是：在一定的条件下 ，可以断定在所给区间内至少有一点，使所研究 的函数在该点具有某种微分性质。 微分中值定理。</p><p>4、结束,第3章 中值定理、导数应用,定理1 设函数 满足下列条件,(3),(1) 在闭区间 上连续；,(2) 在开区间 内可导;,则在内至少存在一点 ，,3.1.1 罗尔定理,a,b,使得,几何解释如图,在直角坐标系Oxy中,曲线 两端点的连线 平行于 轴,其斜率为零,故在曲线弧上定有一点 使曲线在该点的切线平行于弦 ，即平行于 轴。,即,则在区间 内至少存在,(1) 在闭区间 上连续；,(2) 在开区间 内可导；,定理2 设函数 满足下列条件,一点 ，,使得,3.1.2 拉格朗日中值定理,曲线 处处有不垂直于 轴的切线,如图 在直角坐标系Oxy,端点连线AB的斜率为,所以定理实际是说存。</p><p>5、二、 导数应用,习题课,一、 微分中值定理及其应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,中值定理及导数的应用,第三章,一、 微分中值定理及其应用,1. 微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 微分中值定理的主要应用,(1) 研究函数或导数的性态,(2) 证明恒等式或不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 有关中值问题的解题方法,利用逆向思维 , 设辅助函数 .,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个。</p><p>6、罗尔 定理,拉格朗日 中值定理,柯西 中值定理,第三章 中值定理及导数的应用,(1) 罗尔中值定理,1.中值定理,(2) 拉格朗日中值定理,推论1 如果函数f(x)在区间(a,b)内的导数恒为零， 则f(x)在区间(a,b)内是一个常数.,推论2 如果在区间(a,b)内, 则 f(x)=g(x)+C（C为常数）.,2、洛必达法则,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .,定理,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,注意：,1.。</p><p>7、1,第三章 微分中值定理与导数的应用,2,罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理统称微分学中值定理，它们在理论上和应用上都有着重大意义，尤其是拉格朗日中值定理，它刻划了函数在整个区间上的变化与导数概念的局部性之间的联系，是研究函数性质的理论依据。 学习时，可借助于几何图形来帮助理解定理的条件，结论以及证明的思路；并由此初步掌握应用微分学中值定理进行论证的思想方法。,3,第一节 中值定理 一、费马引理,第一节 微分中值定理,一、费马引理：,设函数 f (x) 在点 x0 的某邻域,U(x0) 内有定义, 并且在点 x0,可导。如果对任。</p><p>8、二、 导数应用,习题课,一、 微分中值定理及其应用,中值定理及导数的应用,第三章,一、 基本内容,1. 微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,2、,存在 (或为 ),洛必达法则,(洛必达法则),3. 可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,4.曲线凹凸与拐点的判别,拐点, 连续曲线上有切线的凹凸分界点,5. 连续函数的极值,(1) 极值疑似点 :,使导数为0 或不存在的点,(2) 第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3) 第二充分条件,为极大值,为极小值,定理3,最值点应在极值点和边界点上找 ;,应用题可根据问题的。</p><p>9、第一节 中值定理,一、罗尔定理 二、拉格朗日(Lagrange)中 值定理 三、小结与作业,一、罗尔定理,几何解释:,例如,例,例,上例说明罗尔定理的条件是结论成立的充分条 件, 但不是必要条件.,2) 罗尔定理的结论中不是唯一的.,1) 罗尔定理的三个条件对于结论的成立都是重要的.,关于罗尔定理的几点说明,3) 将罗尔定理的条件1.2.换为a,b上可导,结论仍成立.,例1,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,证,分析:,弦AB方程为,作辅助函数,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区。</p><p>10、第三章 中值定理和导数的应用,第三章 中值定理和导数的应用,数学家-伯努利家族,第一节 微分中值定理,第二节 洛必达法则,第三节 函数的单调性急值和最大最小值,第四节 曲线的凹凸性和函数作图,第五节 弧微分 曲率,数学家-伯努利家族,第一节 微分中值定理,第二节 洛必达法则,第三节 函数的单调性极值和最大最小值,第四节 曲线的凹凸性和函数作图,第五节 弧微分 曲率,伯努利家族，这个非凡的瑞士家族产生过十一个数学家的家族。伯努利家族在数学与科学上的地位正如巴赫家族在音乐领域的地位一样地显赫。（其中三位是杰出的，他们是雅可布、约。</p><p>11、第一节.中值定理,第三章 中值定理与导数的应用,令,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求 极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,极限不存在,正确做法：,型,多项式 是各类函数中最简单的一种。用多项式 近似表达函数是近似计算和理论分析 中的一个重要内容,证明:,拉格朗日形式的余项,皮亚诺形式的余项,注意:,麦克劳林(Maclaurin)公式,解：,常用函数的麦克劳林公式,上凹（下凸）,下凹（上凸）,从图形上看很能理解,若曲线c上的动点P沿着曲线无限地远离原点时，点P与某一固定直线L的距离趋于零，则称直线L为曲线c的渐近线。,1.。</p><p>12、第三章 微分中值定理与导数应用,微分中值定理 洛必达法则 单调性、函数极值与最值,3.1 微分中值定理,罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理,定理1 罗尔(Rolle)定理,怎样证明洛尔定理 ？,闭区间上连续函数的最大最小值定理！,罗尔定理的几何意义,至少有一点的切线平行于（高度相同的两端点的连线,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,定理2 拉格朗日(Lagrange)中值定理,弦AB方程为,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在。</p><p>13、第四章 微分中值定理和导数的应用,一、微分中值定理 二、洛必达法则 三、函数的单调性 四、函数的极值 五、函数的最值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数 满足下列条件,(3),(1) 在闭区间 上连续；,(2) 在开区间 内可导;,a,b,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、微分中值定理,1、罗尔中值定理：,罗尔中值定理的几何意义:,在连接高度相同的两点 A、B的一段连续曲线上，如果每一点都有不垂直于 x 轴的切线， 则曲线上至少有一点 的切线 平行于弦AB x 轴，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 在闭区间 上连续；,(2) 在开区间 内可导；,如。</p><p>14、第三章 中值定理与导数的应用,第 一 节 中值定理,一、罗尔(Rolle)定理,几何解释:,证,讨论：,不妨设,因而,下证：,且,则有,得,则有,得,（1）,（2）,证毕。,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,下面举例说明。,不满足条件(1).,不满足条件（2）,不满足条件（3）,例1,证,由零点定理得：,矛盾!,注：,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,分析:,弦AB方程为,作辅助函数,证,由已知得：,且,即,根据罗尔定理，得：,使得,即,即,证毕。,拉格朗日中值公式,注：,从而,记,则,这样，拉格郎日公式可表示为,此式称为有限增量公。</p><p>15、专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 32 第第 3 章章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 1 中值定理中值定理 一 是非判断题 1 若0 fbababaxf使且必存在可导在有定义在 2 若0 fbabfafbaxf使则必存在在连续在 3 若 0 lim lim 00 fbaxfxfbaxf bxax 使则存在且内可导在 4 若 abfafbfbabaxf 使则必存在内可导在 5 若使内至少。</p><p>16、第四章 中值定理与导数应用4.1 中值定理定理 4.1.1 (罗尔定理)如果满足：（1）在闭区间上上连续; （2）在开区间()内可导;（3）.则在开区间(上至少存在一点,使得罗尔定理的几何意义是:在连续高度相同的两点的一段曲线上,如果每一点都有不垂直于轴的切线,那么至少有一点上的切线是平。</p><p>17、第四章 导数的应用习题课,分析：只要证存在,证 设函数,使得,分析: 只要证存在,证 设函数,例2 设函数,使得,使得,证明在,例3 若,分析: 问题转化为,证 设,且,使得,因此有,由罗尔定理,不妨设,证 因,故,于是,例4 若在,所以,取得最大值, 证明:,例5 若函数,证 设,(1) (2), 注意到,则有,于是有,例6 设函数,证,由,故,再由,证明:,证 令,由罗尔定理,命题得证。</p>