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文档简介

数列极限概念典型例题分析1.用极限定义证明021lim2nnn.我们分析以下各种证明过程:证明1:0,为了使2102122nnnn,即122nn,只需使2212nn.解此不等式得到n)12(11(2122或者)12(11(2122n因此，如果令N)12(11(2122(整数部分),那么,只要Nn，就有2102122nnnn于是02lim2nnn.证毕.这个证明是正确的,但是太繁琐造成繁琐的原因是没有进行适当放大试与下述证明相比较:证明2:注意到nnnnn121021220，取自然数N,使其满足不等式1N只要Nn，就有nnnnn12102122N1.因此021lim2nnn.证毕.为什么可以使证明过程如此简明?是因为做了适当放大nnn1212对于初学者,在这类题目中,不善于、或者不敢于进行充分但适当的放大，是常见问题之一.例2:设0limAann求证Aannlim分析以下各种证明过程:证明1:注意到AaAaAannn|.由于Aannlim，所以对于任意正数，能够找到自然数N，只要Nn，就有)(|AaAann于是只要Nn，就有AaAaAaAaAannnnn|.证毕.这个证明过程中包含了一个错误:“只要Nn,就有)(|AaAann”其实这是不正确的，因为)(Aan是随n变化的一个量根据条件Aannlim,我们只能做到这样的事情:“对于任意事先给定的正数,都能找到自然数N,只要Nn,就有|Aan.”这里的一旦给定，就是一个常数，与n无关但是对于与n有关的变量|Aan,则不能指望找到自然数N,使得只要Nn，就有)(|AaAann因为)(Aan不是常数.在这个题目的证明过程中,还经常有读者这样做:令1)(Aan,这显然是错误的,因为前者是一个常数,后者是一个变量下面的证明是正确的:证明2:由于Aannlim,0A，所以根据极限的保号性，对于充分大的n，有0na由于数列收敛性与前有限项无关，所以不妨设对于所有的n都有0na于是AAan11成立由于Aannlim，所以对于任意正数，能够找到自然数N，只要Nn，就有AAa
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