大学物理上下册北邮出版社课后习题答案

上册习题一11R与有无不同TDR和有无不同TDV和有无不同其不同在哪里试举例说明解（1）是位移的模，R是位矢的模的增量，即R12，12R；（2）TDR是速度的模，即TDVTS只是速度在径向上的分量有R（式中叫做单位矢），则TRTDDR式中TD就是速度径向上的分量，TR与不同如题11图所示题11图3TDV表示加速度的模，即TVAD，是加速度A在切向上的分量有表轨道节线方向单位矢），所以TVTD式中DTV就是加速度的切向分量R与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论12设质点的运动方程为XT，YT，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出R2YX，然后根据VTRD，及A2TR而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即V22TYTX及22DTYTX你认为两种方法哪一种正确为什么两者差别何在解后一种方法正确因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有JYIXR，JTYITXRAV22DD故它们的模即为2222DTYTXATTVYXYX而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作2DTRTRV其二，可能是将2DTR与误作速度与加速度的模。在11题中已说明TRD不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，2DTR也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分22DTRTA径。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢R在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢R及速度V的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。13一质点在XOY平面上运动，运动方程为X3T5,Y21T234式中T以S计，,以M计1以时间为变量，写出质点位置矢量的表示式；2求出1S时刻和T2S时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；3计算T0S时刻到4S时刻内的平均速度；4求出质点速度矢量表示式，计算T4S时质点的速度；5计算T0S到4S内质点的平均加速度；6求出质点加速度矢量的表示式，计算T4S时质点的加速度请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式解（1）JTITR432153M2将T,2代入上式即有JI081R25433JIJ167,5014SM0RTV41SM3DJITRV则JIV741S5JIVJIV73,4024SM1TA6DJTA这说明该点只有Y方向的加速度，且为恒量。14在离水面高H米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题14图所示当人以0VM1S的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小图14解设人到船之间绳的长度为L，此时绳与水面成角，由图可知22SH将上式对时间T求导，得TSTLD2题14图根据速度的定义，并注意到,是随减少的，TSVTLVD,0船绳即COSD0LS船或VHLV2/120船将船V再对T求导，即得船的加速度32020020DDSVHSLVSLTSLTVA船船15质点沿X轴运动，其加速度和位置的关系为A262X，的单位为2SM，X的单位为M质点在0处，速度为101M,试求质点在任何坐标处的速度值解VTTVADD分离变量XADXD62两边积分得CV321由题知，0X时，,5013SM2X16已知一质点作直线运动，其加速度为A43T2，开始运动时，X5M，V0，求该质点在T10S时的速度和位置解TTV4D分离变量，得3积分，得12CTV由题知，0T,V,01C故234T又因为DTXV分离变量，TX234D积分得2321CTX由题知0T,5X,2C故132T所以ST时M705120S9341012XV17一质点沿半径为1M的圆周运动，运动方程为233T，式中以弧度计，T以秒计，求1T2S时，质点的切向和法向加速度；2当加速度的方向和半径成45角时，其角位移是多少解TT18D,9D21S2T时，2SM3618RA2229N2当加速度方向与半径成45角时，有145TANN即R2亦即892SIN2COI0TRTVTX则解得923T于是角位移为RAD672932T18质点沿半径为R的圆周按S01BTV的规律运动，式中S为质点离圆周上某点的弧长,0V，B都是常量，求1时刻质点的加速度；2T为何值时，加速度在数值上等于解（1）BTVTS0DRTVAN202则2422BT加速度与半径的夹角为20ARCTNBTV2由题意应有242RB即0,402402BTVTV当BVT0时，A19半径为R的轮子，以匀速0V沿水平线向前滚动1证明轮缘上任意点B的运动方程为XSINTT，YRCOS1T，式中0V/R是轮子滚动的角速度，当B与水平线接触的瞬间开始计时此时B所在的位置为原点，轮子前进方向为X轴正方向；2求点速度和加速度的分量表示式解依题意作出下图，由图可知题19图1COS1COS12INTRY2SINDCO1TRTYVXTVAYYXXDCOS2110以初速度0201M抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60的夹角，求1球轨道最高点的曲率半径R；2落地处的曲率半径2R提示利用曲率半径与法向加速度之间的关系解设小球所作抛物线轨道如题110图所示题110图1在最高点，O016CSVX2MGAN又11060COS22NAV2在落地点，22V1SM,而O60CGAN8S12N111飞轮半径为04M，自静止启动，其角加速度为02RAD2S，求T2S时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度解当S2T时，402T1SRAD则1604RV1S0642RAN2SM8222104N112如题112图，物体A以相对B的速度VGY2沿斜面滑动，Y为纵坐标，开始时A在斜面顶端高为H处，物体以U匀速向右运动，求A物滑到地面时的速度解当滑至斜面底时，Y，则HV,物运动过程中又受到B的牵连运动影响，因此，对地的速度为JGIGUAASIN2COS2地题112图113一船以速率1V30KMH1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率2V40KMH1沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何在艇上看船的速度又为何解1大船看小艇，则有121V，依题意作速度矢量图如题113图A题113图由图可知1212HKM50VV方向北偏西87364ARCTNRT22小船看大船，则有12，依题意作出速度矢量图如题113图B，同上法，得5012V1HK方向南偏东O8736114当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2M的甲板上，篷高4M但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3M，如雨滴的速度大小为8MS1，求轮船的速率解依题意作出矢量图如题114所示题114图船雨雨船VV船雨船雨由图中比例关系可知1SM8雨船习题二21一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为1M的物体，另一边穿在质量为2M的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度A下滑，求1M，2相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计解因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为1A，其对于2则为牵连加速度，又知2M对绳子的相对加速度为，故2对地加速度，由图B可知，为1又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力F在数值上等于绳的张力T，由牛顿定律，有11AMTG22联立、式，得211212MAGTFA讨论1若0A，则21表示柱体与绳之间无相对滑动2若G2，则FT，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时1M,2均作自由落体运动题21图22一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为）上以初速度0V运动，0的方向与斜面底边的水平线AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道解物体置于斜面上受到重力MG，斜面支持力N建立坐标取方向为X轴，平行斜面与X轴垂直方向为Y轴如图22题22图X方向0XFTVX0Y方向YYMAGSIN0T时2I1T由、式消去T，得220SIN1XGVY23质量为16KG的质点在XO平面内运动，受一恒力作用，力的分量为XF6N，YF7N，当T0时，0，X2MS1，YV0求当T2S时质点的1位矢；2速度解2SM8316FAX7Y1201SM87216453DTAVYYXX于是质点在S2时的速度145JI2M8741341672421220JIJIJTATTVRYX24质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力KV为常数作用，T0时质点的速度为0V，证明1T时刻的速度为VTKE0；2由0到T的时间内经过的距离为XKM1TMKE；3停止运动前经过的距离为；4证明当KMT时速度减至0V的1，式中M为质点的质量答1TVMKAD分离变量，得V即TK0MKTEVLNLTK02TTTMKMKEVEVX001D3质点停止运动时速度为零，即T，故有00KTMK4当TKM时，其速度为EVEVKM0100即速度减至0V的E125升降机内有两物体，质量分别为1，2，且21用细绳连接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速A2G上升时，求11M和2相对升降机的加速度2在地面上观察1M，2的加速度各为多少解分别以,为研究对象，其受力图如图B所示1设2相对滑轮即升降机的加速度为A，则2对地加速度2；因绳不可伸长，故1对滑轮的加速度亦为，又1在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以1M在水平方向对地加速度亦为A，由牛顿定律，有22TGAM1题25图联立，解得GA方向向下22M对地加速度为方向向上1在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即牵相绝AGGA254221ARCTNO6RT，左偏上26一质量为M的质点以与地的仰角30的初速0V从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量解依题意作出示意图如题26图题26图在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下,而抛物线具有对Y轴对称性，故末速度与X轴夹角亦为O30，则动量的增量为VMP由矢量图知，动量增量大小为0V，方向竖直向下27一质量为M的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞并在抛出1S，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒解由题知，小球落地时间为S5因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为GTV501，小球上跳速度的大小亦为GV502设向上为Y轴正向，则动量的增量12MP方向竖直向上，大小MP12碰撞过程中动量不守恒这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒28作用在质量为10KG的物体上的力为ITF0N，式中T的单位是S，1求4S后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量2为了使这力的冲量为200NS，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度J6MS1的物体,回答这两个问题解1若物体原来静止，则ITITFP10401SMKG56D21D,沿X轴正向，IPIV11S若物体原来具有61S初速，则TTFVMFVMP0000DD,于是TPP12,同理，1,2I这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量亦即冲量就一定相同，这就是动量定理2同上理，两种情况中的作用时间相同，即TTTI020D亦即12解得S10T，S2T舍去29一质量为M的质点在XOY平面上运动，其位置矢量为JTBITARSNCO求质点的动量及T0到2T时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量解质点的动量为COSSIJTTMVP将T和2T分别代入上式，得JB1,IAP2,则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为1JBI210一颗子弹由枪口射出时速率为0SMV，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为FBTAN,为常数，其中T以秒为单位1假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；2求子弹所受的冲量3求子弹的质量解1由题意，子弹到枪口时，有0BTAF,得BAT2子弹所受的冲量TTTI021D将BAT代入，得BAI23由动量定理可求得子弹的质量00VM211一炮弹质量为，以速率V飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T，且一块的质量为另一块质量的K倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为VK2,VT证明设一块为1M，则另一块为2，1M及21于是得,2K又设1的速度为1V,2的速度为V，则有2211VTM联立、解得12KVV将代入，并整理得21VKMT于是有将其代入式，有KTV22又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取KMV,21证毕212设N67JIF合1当一质点从原点运动到1643KJIR时，求F所作的功2如果质点到R处时需06S，试求平均功率3如果质点的质量为1KG，试求动能的变化解1由题知，合为恒力，164367KJIJIRFA合J52412W0TP3由动能定理，JEK213以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1CM，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同解以木板上界面为坐标原点，向内为Y坐标正向，如题213图，则铁钉所受阻力为题213图KYF第一锤外力的功为1ASSFYF102DD式中F是铁锤作用于钉上的力，是木板作用于钉上的力，在0T时，F设第二锤外力的功为2，则同理，有212DYKYKA由题意，有212MV即212KY所以，于是钉子第二次能进入的深度为CM41012Y214设已知一质点质量为M在其保守力场中位矢为R点的势能为NPRKE/,试求质点所受保守力的大小和方向解1DNKREF方向与位矢R的方向相反，即指向力心215一根劲度系数为1K的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为2K的轻弹簧B，的下端一重物C，的质量为M，如题215图求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比解弹簧BA、及重物受力如题215图所示平衡时，有题215图MGFBA又1XK2所以静止时两弹簧伸长量之比为12KX弹性势能之比为12212KXEP2161试计算月球和地球对M物体的引力相抵消的一点P，距月球表面的距离是多少地球质量5981024KG，地球中心到月球中心的距离384108M，月球质量7351022KG，月球半径174106M2如果一个1KG的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在P点的势能为多少解1设在距月球中心为R处地引月引F，由万有引力定律，有22RRMMGR地月经整理，得R月地月22410357109858104M36则P点处至月球表面的距离为M67月RH2质量为KG1的物体在P点的引力势能为RRMGREP地月724172110839506835067J2217由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为1M和2M的滑块组成如题217图所示装置，弹簧的劲度系数为K，自然长度等于水平距离BC，与桌面间的摩擦系数为，最初1M静止于A点，BCH，绳已拉直，现令滑块落下1,求它下落到B处时的速率解取点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有21221LKGVGH式中L为弹簧在A点时比原长的伸长量，则HBCAL联立上述两式，得212112MKGV题217图218如题218图所示，一物体质量为2KG，以初速度0V3MS1从斜面A点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N，到达B点后压缩弹簧20CM后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度解取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点。则由功能原理，有37SIN21MGVKXSFR2IKXFR式中M52084S，20X，再代入有关数据，解得1MN39K题218图再次运用功能原理，求木块弹回的高度H2O137SINKXMGFR代入有关数据，得41S,则木块弹回高度840SIOH题219图219质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如题219图所示质量为M的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度解从上下滑的过程中，机械能守恒，以M，M，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有221VVGR又下滑过程，动量守恒，以M,为系统则在脱离瞬间，水平方向有0联立，以上两式，得MGV2220一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直证两小球碰撞过程中，机械能守恒，有221201MVV即题220图A题220图B又碰撞过程中，动量守恒，即有210VMV亦即由可作出矢量三角形如图B，又由式可知三矢量之间满足勾股定理，且以0V为斜边，故知1V与2是互相垂直的221一质量为M的质点位于1,YX处，速度为JVIYX,质点受到一个沿X负方向的力F的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩解由题知，质点的位矢为JIR1作用在质点上的力为F所以，质点对原点的角动量为VMRL01JVIIYXYXK作用在质点上的力的力矩为KFIFJIFRM110222哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆它离太阳最近距离为R8751010M时的速率是1V546104MS1，它离太阳最远时的速率是2V908102MS1这时它离太阳的距离2R多少太阳位于椭圆的一个焦点。解哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有21MVM1065089475221VR223物体质量为3KG，T0时位于IR,SJI，如一恒力N5JF作用在物体上,求3秒后，1物体动量的变化；2相对Z轴角动量的变化解1301SKG15DJTJFP2解一7340TVXJATY52620即IR1,JI510XV13560ATVY即JI1,JI2KMRL741JIJIV545722121SG8K解二DTZMTTTFRL00DD3012SMKG5845D53162TKTJI题224图224平板中央开一小孔，质量为M的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为1M的重物小球作匀速圆周运动，当半径为0R时重物达到平衡今在1的下方再挂一质量为2M的物体，如题224图试问这时小球作匀速圆周运动的角速度和半径R为多少解在只挂重物时1，小球作圆周运动的向心力为GM1，即201RG挂上2后，则有221RM重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒即V022R联立、得0212132101010RMGMRRG225飞轮的质量60KG，半径R025M，绕其水平中心轴O转动，转速为900REVMIN1现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力F，可使飞轮减速已知闸杆的尺寸如题225图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数04，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算试求1设F100N，问可使飞轮在多长时间内停止转动在这段时间里飞轮转了几转2如果在2S内飞轮转速减少一半，需加多大的力F解1先作闸杆和飞轮的受力分析图如图B图中N、是正压力，RF、是摩擦力，X和Y是杆在A点转轴处所受支承力，R是轮的重力，P是轮在O轴处所受支承力题225图（A）题225图B杆处于静止状态，所以对A点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有FLNLLF121210对飞轮，按转动定律有IRR/，式中负号表示与角速度方向相反LR12又,MRIFLIFR12以N10F等代入上式，得2SRAD3405026740由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为669T这段时间内飞轮的角位移为RAD21534930214020T可知在这段时间里，飞轮转了转210SRAD629，要求飞轮转速在2TS内减少一半，可知200RAD152TT用上面式1所示的关系，可求出所需的制动力为NLMRF1727504021621226固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴O转动设大小圆柱体的半径分别为R和R，质量分别为M和M绕在两柱体上的细绳分别与物体1M和2M相连，1和2则挂在圆柱体的两侧，如题226图所示设R020M,R010M，4KG，M10KG，122KG，且开始时1，2离地均为H2M求1柱体转动时的角加速度；2两侧细绳的张力解设1A,2和分别为1,2和柱体的加速度及角加速度，方向如图如图B题226A图题226B图11M,2和柱体的运动方程如下22AMGT11IRR2式中AT1221,而2MI由上式求得222221SRARMRI2由式893622GMRTN由式17208911R227计算题227图所示系统中物体的加速度设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为M，半径为R，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设1M50KG，2200KG,M15KG,R01M解分别以1,滑轮为研究对象，受力图如图B所示对1,2运用牛顿定律，有ATG221对滑轮运用转动定律，有212MRR又，A联立以上4个方程，得221SM67215089MGA题227A图题227B图题228图228如题228图所示，一匀质细杆质量为M，长为L，可绕过一端O的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下求1初始时刻的角加速度；2杆转过角时的角速度解1由转动定律，有3122MLGL2由机械能守恒定律，有231SIN2LLGL题229图229如题229图所示，质量为M，长为L的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴O无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上现有一质量为M的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度30处1设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速0V的值；2相撞时小球受到多大的冲量解1设小球的初速度为0V，棒经小球碰撞后得到的初角速度为，而小球的速度变为V，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式MVLIL022211V上两式中231MLI，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度O0，按机械能守恒定律可列式30COS122LGI由式得2121CSLGIL由式MLIV0由式I202所以22001MVLIV求得GLMLIL3126202相碰时小球受到的冲量为0DMVTF由式求得LLIVT310GM62负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反题230图230一个质量为M、半径为R并以角速度转动着的飞轮可看作匀质圆盘，在某一瞬时突然有一片质量为M的碎片从轮的边缘上飞出，见题230图假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上1问它能升高多少2求余下部分的角速度、角动量和转动动能解1碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度RV0设碎片上升高度H时的速度为，则有GH22令0V，可求出上升最大高度为201VH2圆盘的转动惯量21MRI，碎片抛出后圆盘的转动惯量21MRMI，碎片脱离前，盘的角动量为，碎片刚脱离后，碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不影响系统的总角动量，碎片与破盘的总角动量应守恒，即RMVI0式中为破盘的角速度于是R02212M得角速度不变圆盘余下部分的角动量为212MRM转动动能为题231图221MRMEK231一质量为M、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动另一质量为0的子弹以速度0V射入轮缘如题231图所示方向1开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值2用,和表示系统包括轮和质点最后动能和初始动能之比解1射入的过程对O轴的角动量守恒200SINRMVRSIN2022020SIN1I20VMEK232弹簧、定滑轮和物体的连接如题232图所示，弹簧的劲度系数为20NM1；定滑轮的转动惯量是05KGM2，半径为030M，问当60KG质量的物体落下040M时，它的速率为多大假设开始时物体静止而弹簧无伸长解以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有22211KHIMVGH又R/故有I2122SM050363489题232图题233图233空心圆环可绕竖直轴AC自由转动，如题233图所示，其转动惯量为0I，环半径为R，初始角速度为0质量为M的小球，原来静置于A点，由于微小的干扰，小球向下滑动设圆环内壁是光滑的，问小球滑到B点与C点时，小球相对于环的速率各为多少解1小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至B点时，有200RI该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为V，以点为重力势能零点，则有22020111BMIMGI联立、两式，得20RIVB2当小球滑至C点时，0ICC故由机械能守恒，有21CMVGRC请读者求出上述两种情况下，小球对地速度习题三31惯性系S相对惯性系S以速度U运动当它们的坐标原点O与重合时，T0，发出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程解由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波波阵面方程为22CTZYX题31图32设图34中车厢上观测者测得前后门距离为2L试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差解设光讯号到达前门为事件1，在车厢S系时空坐标为,1CLTX，在车站S系2121UCLLXCUT光信号到达后门为事件，则在车厢S系坐标为,LTX，在车站S系122CLCT于是1U或者LXTT2,012CC33惯性系S相对另一惯性系S沿X轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点在S系中测得两事件的时空坐标分别为16104M,1T2104S，以及2X12104M,2T1104S已知在S系中测得该两事件同时发生试问1S系相对S系的速度是多少2系中测得的两事件的空间间隔是多少解设相对的速度为V，1121XCVT2由题意01T则122XCVT故8125XCV1SM2由洛仑兹变换,22VTXVT代入数值，041234长度0L1M的米尺静止于S系中，与X轴的夹角30，S系相对S系沿X轴运动，在S系中观测者测得米尺与轴夹角为45试求1S系和S系的相对运动速度2S系中测得的米尺长度解1米尺相对静止，它在Y,轴上的投影分别为M860COS0LX，M50SIN0LY米尺相对沿方向运动，设速度为V，对S系中的观察者测得米尺在X方向收缩，而Y方向的长度不变，即YXC,12故21TANCVLXYYX把45及YXL,代入则得86052CV故12在S系中测得米尺长度为M745SINYL35一门宽为A，今有一固有长度0LA的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率U至少为多少解门外观测者测得杆长为运动长度，201CUL，当A时，可认为能被拉进门，则LA解得杆的运动速率至少为201LCU题36图36两个惯性系中的观察者O和以06CC表示真空中光速的相对速度相互接近，如果O测得两者的初始距离是20M，则测得两者经过多少时间相遇解测得相遇时间为TCVLT602测得的是固有时TT21S0898，6CV，801，或者，O测得长度收缩，VLTLL,6102020S1893688CT37观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S和中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为4S，而乙测得这两个事件的时间间隔为5S求1S相对于的运动速度2乙测得这两个事件发生的地点间的距离解甲测得0,S4XT,乙测得S5T，坐标差为12X1TCVTXCVT215412T解出CCCV31280SM20,45,XTTXM1938CV负号表示012X38一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少解2220153,13则LLCV4939论证以下结论在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时证设在S系BA、事件在BA,处同时发生，则BAABTTX,，在S系中测得2CVTTTAB0,X，T即不同时发生310试证明1如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短2如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短解1如果在S系中，两事件BA、在同一地点发生，则0X，在S系中，TT，仅当0V时，等式成立，T最短2若在S系中同时发生，即T，则在S系中，X，仅当V时等式成立，系中X最短311根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去假定地球上观察到一颗脉冲星发出周期无线电波的星的脉冲周期为050S，且这颗星正沿观察方向以速度08C离我们而去问这颗星的固有周期为多少解以脉冲星为S系，0X，固有周期0T地球为S系，则有运动时T1，这里1T不是地球上某点观测到的周期，而是以地球为参考系的两异地钟读数之差还要考虑因飞行远离信号的传递时间，CTV1TTT1CV601812则50CVTTS160836153126000M的高空大气层中产生了一个介子以速度V0998C飞向地球假定该介子在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命2106S试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和介子静止系中观测者来判断介子能否到达地球解介子在其自身静止系中的寿命10260T是固有本征时间，对地球观测者，由于时间膨胀效应，其寿命延长了衰变前经历的时间为S352CVT这段时间飞行距离为M9470TVD因M60D，故该介子能到达地球或在介子静止系中，介子是静止的地球则以速度V接近介子，在0T时间内，地球接近的距离为50T0经洛仑兹收缩后的值为M379120CVD0D，故介子能到达地球313设物体相对S系沿X轴正向以08C运动，如果S系相对S系沿X轴正向的速度也是08C，问物体相对S系的速度是多少解根据速度合成定理，CU80,VXCCXX98080122314飞船A以08C的速度相对地球向正东飞行，飞船B以06C的速度相对地球向正西方向飞行当两飞船即将相遇时A飞船在自己的天窗处相隔2S发射两颗信号弹在B飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少解取B为S系，地球为系，自西向东为X轴正向，则A对S系的速度CVX80，系对系的速度为CU60，则A对S系B船的速度为CCVXX9460812发射弹是从A的同一点发出，其时间间隔为固有时S2T，题314图B中测得的时间间隔为S176940122CVTTX3151火箭A和B分别以08C和06C的速度相对地球向X和方向飞行试求由火箭B测得的速度2若火箭A相对地球以08C的速度向Y方向运动，火箭B的速度不变，求相对的速度解1如图A，取地球为S系，为系，则S相对的速度CU60，火箭A相对S的速度CVX80，则相对的速度为CVCUXX94806122或者取A为S系，则80，B相对S系的速度CVX6，于是B相对A的速度为CVCUXX9408016222如图B，取地球为S系，火箭为S系，系相对S系沿X方向运动，速度CU60，A对系的速度为,X,Y,由洛仑兹变换式A相对B的速度为CVCUXX601012CVCUVXYY6408122A相对B的速度大小为CYX2速度与X轴的夹角为071TANXYV846题315图316静止在S系中的观测者测得一光子沿与X轴成60角的方向飞行另一观测者静止于S系，S系的X轴与轴一致，并以06C的速度沿方向运动试问S系中的观测者观测到的光子运动方向如何解系中光子运动速度的分量为CCVX5OSY860IN由速度变换公式，光子在S系中的速度分量为CCVCUXX1435122CCVCUVXYY9050618122光子运动方向与X轴的夹角满足9TANXYV在第二象限为298在S系中，光子的运动速度为CVYX2正是光速不变3171如果将电子由静止加速到速率为01C，须对它作多少功2如果将电子由速率为08C加速到09C，又须对它作多少功解1对电子作的功，等于电子动能的增量，得112202020CVMCMCEK113192286024JEV0573220121CMCMEKK12220212CVCMC809391621J045EV05318子静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命2106S，若它在实验室参考系中的平均寿命7106S，试问其质量是电子静止质量的多少倍解设子静止质量为0M，相对实验室参考系的速度为CV，相应质量为M，电子静止质量为E0，因271,022即由质速关系，在实验室参考系中质量为22EM故750170EM319一物体的速度使其质量增加了10，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几解设静止质量为0，运动质量为，由题设1002M由此二式得1102在运动方向上的长度和静长分别为L和0，则相对收缩量为191120L320一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加04此时电子速度是多少已知电子的静止质量为911031KG解由质能关系0420CME10/31914282EJ0836EV0196E3所需电势差为02伏特由质速公式有04111002MM3229574CV故电子速度为1S321一正负电子对撞机可以把电子加速到动能KE28109EV这种电子速率比光速差多少这样的一个电子动量是多大与电子静止质量相应的能量为0E0511106EV解20201CMVK所以20202/1CECCVKK由上式，29626010851/51CMVK89742S81097245VC1S由动量能量关系PE可得CMECMCMPKK20242000118821382692SG49/15322氢原子的同位素氘2H和氚3H在高温条件下发生聚变反应，产生氦42HE原子核和一个中子0N，并释放出大量能量，其反应方程为21H3H42HE10N已知氘核的静止质量为20135原子质量单位1原子质量单位16001027KG，氚核和氦核及中子的质量分别为30155，40015，100865原子质量单位求上述聚变反应释放出来的能量解反应前总质量为095132AMU反应后总质量为208754质量亏损89MKG2由质能关系得22910313CEJ08275EV323一静止质量为的粒子，裂变成两个粒子，速度分别为06C和08C求裂变过程的静质量亏损和释放出的动能解孤立系统在裂变过程中释放出动能，引起静能减少，相应的静止质量减少，即静质量亏损设裂变产生两个粒子的静质量分别为10M和2，其相应的速度CV601,82由于孤立系统中所发生的任何过程都同时遵守动量守恒定律和能质量守恒定律，所以有201221CVCV02021021MVM注意1M和2必沿相反方向运动，动量守恒的矢量方程可以简化为一维标量方程，再以60VC,8C代入，将上二方程化为201068，0216上二式联立求解可得010459M,0257故静质量亏损208M由静质量亏损引起静能减少，即转化为动能，故放出的动能为0CCEK324有A，B两个静止质量都是0的粒子，分别以1V,2的速度相向运动，在发生完全非弹性碰撞后合并为一个粒子求碰撞后粒子的速度和静止质量解在实验室参考系中，设碰撞前两粒子的质量分别M和，碰撞后粒子的质量为M、速度为V，于是，根据动量守恒和质量守恒定律可得MVVM21由于01202021CVCV代入式得V2210CVMM，即为碰撞后静止质量325试估计地球、太阳的史瓦西半径解史瓦西半径2CGMRS地球KG1064则M1098372328SR太阳30则32816SR326典型中子星的质量与太阳质量M21030KG同数量级，半径约为10KM若进一步坍缩为黑洞，其史瓦西半径为多少一个质子那么大小的微黑洞1015CM，质量是什么数量级解1史瓦西半径与太阳的相同，310SRM2150SRCM17由2CGMS得918172076063CRSKG327简述广义相对论的基本原理和实验验证解广义相对论的基本原理是等效原理和广义相对性原理等效原理又分为弱等效原理和强等效原理弱等效原理是在局部时空中，不可能通过力学实验区分引力和惯性力，引力和惯性力等效强等效原理是在局部时空中，任何物理实验都不能区分引力和惯性力，引力和惯性力等效广义相对性原理是所有参考系都是平权的，物理定律的表述相同广义相对论的实验验证有光线的引力偏转，引力红移，水星近日点进动，雷达回波延迟等习题四41符合什么规律的运动才是谐振动分别分析下列运动是不是谐振动1拍皮球时球的运动；2如题41图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动设小球所经过的弧线很短题41图解要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件一，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长等等在运动中保持为常量；二，系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用或者说，若一个系统的运动微分方程能用0D2T描述时，其所作的运动就是谐振动1拍皮球时球的运动不是谐振动第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二，球在运动中所受的三个力重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力2小球在题41图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统指小球凹槽、地球系统的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为SINMG，如题41图B所示题中所述，SR，故S0，所以回复力为式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反即小球在点附近的往复运动中所受回复力为线性的若以小球为对象，则小球在以为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有MGTR2D令RG2，则有02T42劲度系数为1K和2的两根弹簧，与质量为的小球按题42图所示的两种方式连接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期题42图解1图A中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有21F，设串联弹簧的等效倔强系数为串K等效位移为X，则有1XKF串22又有21KX串所以串联弹簧的等效倔强系数为21K串即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为/21K的弹簧振子系统，故小球作谐振动其振动周期为212MKT串2图B中可等效为并联弹簧，同上理，应有F，即21X，设并联弹簧的倔强系数为并K，则有21XX并故K并同上理，其振动周期为21MT43如题43图所示，物体的质量为，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为，弹簧的倔强系数为K，滑轮的转动惯量为I，半径为R先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期题43图解分别以物体M和滑轮为对象，其受力如题43图B所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为X轴正向，则当重物偏离原点的坐标为X时，有21DSINTXMTGIR21TX2D0XK式中KMG